ओली - सुकी
२०. ओली - सुकी संपादन
जेव्हा दोन पर्याय समोर असतात आणि कुठला निवडावा यासाठी निर्णायक कारण उपलब्ध नसतं तेव्हा चिठ्या टाकणे किंवा नाणेफेक अशा उपायांचा अवलंब केला जातो. अशा उपायांमागे अभिप्रेत असते समान संभाव्यता (Equal Probability) उदाहरणार्थ, नाणं व्यवस्थित फेकले की ते हवेत फिरून खाली पडताना 'हेड वर’ का ‘टेल वर’ पडेल ते सांगता येत नाही - दोन्ही पर्याय सारखेच संभवनीय असतात. ही संभाव्यता गणितात मोजता येते. त्यासाठी केलेले नियम ह्या उदाहरणाने सांगता येतील.
जी घटना निश्चित घडणार तिची संभाव्यता १ (एक) इतकी धरली जाते. नाणेफेकीत नाणं खाली पडणार ह्या घटनेचे पृथक्करण केल्यास तिचे दोन पर्याय म्हणजे, ‘नाणे हेड वर असलेल्या परिस्थितीत खाली पडेल’ आणि ‘नाणे टेल वर असलेल्या परिस्थितीत खाली पडेल' असं दिसून येते. त्यांची संभाव्यता सारखी हे आपण आधीच पाहिलं. शिवाय हे परस्पराला वगळणारे आहेत (हेड वर आणि टेल वर एकदम घडणार नाही.) म्हणून त्यांच्या संभाव्यतांची बेरीज केल्यास ती मूळ घटनेच्या (‘नाणे खाली पडेल') संभाव्यतेइतकी झाली पाहिजे. त्यावरून प्रत्येक पर्यायाची संभाव्यता १/२ (अर्धी) आहे हे दिसून येतं.
ही संभाव्यता (किंवा कुठल्याही घटनेची संभाव्यता) मोजायला
प्रयोग पण करता येईल. जर नाणं १०० वेळा फेकलं तर 'हेड वर’ असं किती वेळा पडलं याची नोंद केल्यास ते - १०० च्या जवळजवळ अर्धी संख्या, म्हणजे ५० वेळा - असं दिसून येईल. आपण हेड वर आलं की प्रयोग यशस्वी झाला असं म्हटलं तर यशस्वी प्रयोगांचे प्रमाण १/२ च्या आसपास असेल. हा प्रयोग जितक्या जास्त वेळा केला जाईल तितक्या अधिक आत्मविश्वासाने हे प्रमाण १/२ च्या अधिक जवळ असल्याचं भाकीत संख्याशास्त्रज्ञ करू शकतो. म्हणजे १०० पेक्षा १००० वेळा हा प्रयोग केलात तर यशस्वी प्रयोगांचे प्रमाण १/२ च्या अधिक निकट असलेलं आढळून येईल.
यादृच्छिकता (Randomness) :
वरील प्रयोगात असे गृहीत धरलं की नाणे फेकणा-याने ते नाणं ‘व्यवस्थित’ फेकलं. याचा अर्थ, फेकल्यावर ते कसं पडेल यावर त्याचे काही नियंत्रण राहणार नाही. आपल्याला पाहिजे तसं पडेल अशा बेताने नाणं टाकल्यास अर्थातच वरील भाकीत बरोबर येणार नाही.
खेळातला घनाकृती फासा एका डब्यात घालून हलवून फेकला की तो कसा पडेल हे सांगता येणार नाही. म्हणजे त्याच्या ६ पैकी कुठलाही पृष्ठभाग वर असण्याची शक्यता आहे. म्हणून अमुक एक पृष्ठभाग वर येण्याची संभाव्यता १/६ (एक षष्ठांश) इतकी आहे. अशा तहेच्या घटनेला ‘यादृच्छिक घटना’ (Random Event) असं संख्याशास्त्रात म्हटलं आहे.
याचे आणखी एक उदाहरण पाहू. चार दारुडे एका गुत्त्यात शिरले. आत शिरताना त्यांनी आपापली टोपी क्लोकरूममध्ये ठेवली. दारू पिऊन, झिंगून आल्यावर त्यांनी आपापल्या टोप्या घेण्याचा प्रयत्न केला. पण बुद्धी ठिकाणावर नसल्याने मिळेल ती टोपी स्वतःची समजून घेतली. ही निवडण्याची पद्धत यादृच्छिक म्हटली पाहिजे ! तर प्रश्न असा की कोणालाही स्वतःची टोपी मिळू नये असे घडण्याची संभाव्यता किती?
चार लोकांना चार टोप्या किती वेगवेगळ्या तऱ्हेने वाटता येतील? थोडा विचार केल्यास ही संख्या ४ x ३ x २ x १ = २४ इतकी आहे हे दिसून येईल. आपण दारूड्यांना नंबराने ओळखू : १, २, ३, ४ आणि त्यांच्या टोप्यांना त्यांचेच नंबर देऊ मग दारूड्यांचे नंबर वर आणि खाली टोप्यांचे असे एक टेबल तयार करता येईल.
इत्यादि........
ह्या तक्त्यात टोप्यांच्या वरीलप्रमाणे २४ प्रवेशिका (एंट्रिज) असतील (वर फक्त ३ दिल्या आहेत.) अशा किती प्रवेशिका आहेत ज्यात कुठल्याही दारूड्याखाली त्या नंबराची टोपी नाही? पहा मोजून ! उत्तर आहे ९. म्हणजे असे घडण्याची संभाव्यता आहे ९/२४ म्हणजे ३/८.
बफाँचा ‘सुईचा प्रश्न :
बफाँ (Buffon) नावाच्या गणितज्ञाने एक गमतीदार प्रश्न तयार केला त्याचं थोडक्यात विवरण देत आहे.
चित्रात दाखविल्याप्रमाणे एका मोठ्या कागदावर, ठराविक अंतरावर समांतर रेघा मारा. दोन शेजारच्या रेघांच्या मधल्या अंतराच्या निम्म्या लांबीची एक बारीक सुई किंवा काडी घ्या. आणि नाणेफेकीप्रमाणे - यादृच्छिक पद्धतीने - म्हणजे सुई कशी पडावी इकडे लक्ष न देता, ती सुई फेका. ती सुई कागदावर पडली की एखाद्या रेघेवर तरी पडेल किंवा दोन रेघांच्या मधल्या भागात अलगद पडेल. तर ही सुई रेघेवर (कुठल्याही) पडण्याची संभाव्यता काय?
ह्या प्रश्नाचं उत्तर काढणं गणिताने अवघड असलं तरी प्रत्यक्ष उत्तर आहे कळायला सोपे. ते म्हणजे १/Π. छेदस्थानचा Π हा आकडा आपल्या परिचयाचा आहे. एखाद्या वर्तुळाचा परिघ त्याच्या व्यासाच्या -Π पट असतो. Π जवळजवळ २२/७ इतका आहे.
वुल्फ नावाच्या गणितज्ञाने १८४९ ते १८५३ च्या काळात प्रयोग करून पाहिलं. ५००० वेळा सुई फेकून त्याने किती प्रमाणात ती एखाद्या रेषेवर पडते ते पाहिलं. त्यावरून त्याने म्हणजे जवळजवळ ३.१५९६ असा निष्कर्ष काढला. तो Π च्या वास्तविक मूल्याच्या पुष्कळच जवळ आहे.
ज्यांना रिकामा वेळ असेल त्यांनी हा प्रयोग करून पाहावा !