गणिताच्या सोप्या वाटा/ल.सा.वि./म.सा.वि.

ल. सा. वि. / म. सा. वि.

अनेकदा लसावि मसावि नावाचे राक्षस विद्यार्थ्यांचा गोंधळ करतात - हे शब्द छोटे असूनही भयंकर वाटू लागतात. ते काय आहेत हे एकदा नीट समजलं व लक्षात ठेवलं की हेच राक्षस आपल्याला वश होऊ शकतात. यासाठी आधी त्यांचा अर्थ पहा.

ल. सा. वि. = लघुत्तम साधारण विभाज्य

म. सा. वि. = महत्तम साधारण विभाजक

म्हणजे लसावि/मसावि मधला 'सा' एकच असला तरी ‘वि' मात्र 

वेगवेगळा आहे हे! विभाज्य म्हणजे दिलेल्या संख्यांनी पूर्ण भाग जाणारी संख्या म्हणून ती दिलेल्या संख्यांपेक्षा मोठी असणार तर विभाजक म्हणजे दिलेल्या संख्यांना ज्याने पूर्ण भाग जातो ती संख्या - म्हणून ती दिलेल्या संख्यांपेक्षा लहान असते. तेव्हा लक्षात ठेवा की लघुत्तम म्हणजे सर्वात लहान असा विभाज्य असला तरी तो दिलेल्या संख्यांपेक्षा मोठा, तर महत्तम म्हणजे सर्वात मोठा असा विभाजक असला तरी तो दिलेल्या संख्यांपेक्षा लहान असतो.

नमुन्यासाठी आपण 6 व 15 या दोन संख्यांचे लसावि, मसावि काढून पाहू.

6 ने भाग जाणाच्या किंवा विभाज्य संख्या 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 व याहूनही मोठ्या आहेत.

15 ने भाग जाणाच्या किंवा विभाज्य संख्या 15, 30, 45, 60, 75, व याहूनही मोठ्या आहेत.

आता दोन्हींच्या विभाज्य संख्यांमध्ये 30, 60, 90 इत्यादी कॉमन किंवा साधारण विभाज्य आहेत. अर्थात् त्यापैकी 30 ही संख्या सर्वात 

लहान आहे म्हणून ल. सा. वि. = 30.

इथे आपण काय केलं पहा - 6 व 15 यांचे विभाज्य तपासून दोघांच्याही विभाज्यांपैकी जे कॉमन (साधारण) विभाज्य आहेत, त्यापैकी सर्वात लहान विभाज्य घेतला तोच ल.सा.वि. आहे.

आता म.सा.वि. काढू. यावेळी 6 व 15 या दोन्ही संख्यांचे विभाजक तपासायचे.

6 चे विभाजक 1, 2, 3, 6 (यांनी 6 ला पूर्ण भाग जातो)

15 चे विभाजक 1, 3, 5, 15 (यांनी 15 ला पूर्ण भाग जातो)

आता दोघांचेही कॉमन (साधारण) विभाजक 1 व 3 आहेत त्यापैकी 3 हा सर्वात मोठा आहे.

म्हणून म. सा. वि. = 3.

आणखी एक असेच उदाहरण पाहू.

उदा. 12 व 16 यांचे ल.सा.वि. व म.सा.वि. काढा.

आधी ल.सा.वि. काढू.

12 चे विभाज्य : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 इत्यादि

16 चे विभाज्य : 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112 इत्यादि

∴ दोघांचेही साधारण विभाज्य हे 48, 96 व याहून मोठे असतील.

∴ ल. सा. वि. = 48

12 चे विभाजक : 1, 2, 3, 4, 6, 12

16 चे विभाजक : 1, 2, 4, 8, 16

यापैकी साधारण (कॉमन) विभाजक 1, 2, 4 हे आहेत.

यात 4 सर्वात मोठा

∴ म. सा. वि. = 4

आतां लक्षात ठेवा की 1 हा सर्वच पूर्णाकाचा विभाजक असतो.

वरील पद्धतीने लहान संख्यांचे लसावि मसावि काढणे सोपे असते पण मोठ्या संख्यांना हीच पद्धत वापरली तर फार वेळ लागतो. त्यासाठी एक दुसरी पद्धत वापरणे सोयीचे असते. प्रथम ज्या संख्यांचे लसावि किंवा मसावि काढायचे, त्या संख्यांचे मूळ अवयव पाडून घेतात. मूळ 

अवयव म्हणजे मूळ संख्या असलेले विभाजक. लक्षात ठेवा की मूळ संख्या म्हणजे अशी संख्या जिला फक्त 1 व ती संख्या स्वतः एवढे दोनच विभाजक आहेत.

2, 3, 5, 7, 11 या मूळ संख्या आहेत. पण 4, 6 या मूळ संख्या नाहीत कारण 2 हा 4 चा, 2 व 3 हे 6 चे विभाजक आहेत.

ल.सा.वि. म.सा.वि काढण्याची सोपी रीत पहा.

उदा. 24 व 60 यांचे ल.सा.वि. म.सा.वि. काढा.

24 = 2 x 2 X 2 X 3

60 = 2 x 2 x 3 x 5

आता 24 वे 60 या दोघांचीही विभाज्य संख्या असेल, तिला 2 ने 3 वेळा, 3 ने एक वेळा व 5 ने एक वेळा भाग जाईल.

∴ कुठल्याही साधारण विभाज्याला 2x2x2x5x5 ने भाग जाईल व 2x2x2x3x5 = 120 ही संख्याही 24 व 60 यांची विभाज्य आहेच म्हणून ब ही संख्याच सर्वात लहान साधारण विभाज्य आहे.

∴ ल.सा.वि. = 120

आता 1,2,3, 2x3 = 6, 2x2 = 4 व 2x2x3 = 12 एवढे विभाजक दोघांनाही पूर्ण भाग देतात. याहून आणखी कॉमन विभाजक मिळणार नाहीत.

∴ यातला मोठा भाग = 2x2x3 = 12 हाच मसावि होय.

लक्षात ठेवायला सोपी रीत अशी - दिलेल्या संख्यांचे मूळ अवयव पाहून घ्या. ल.सा.वि. साठी प्रत्येक मूळ अवयव दिलेल्या संख्यांमध्ये किती वेळा येतो पहा. जास्तीत जास्त किती वेळा येतो, तेवढ्या वेळा तो घ्या व अशा सर्व मूळ अवयवांना घेऊन त्यांचा गुणाकार करा. म.सा.वि. साठी प्रत्येक मूळ अवयव कुठल्याही संख्येत कमीत कमी किती वेळा येतो ते पहा व तितक्या वेळा तो घ्या. अशा सर्व मूळ अवयवांचा गुणाकार म्हणजे म.सा.वि. होय.

24 मध्ये 2 हा तीन वेळा व 60 मध्ये 2 वेळा आहे. 

∴ लसावि साठी 2 हा तीन वेळा, 3 हा एक वेळा व 5 एक वेळा घेऊन लसावि = 2x2x2x3x5 = 120 येतो.

प्रत्येक संख्येत 2 हा कमीत कमी दोनदा व 3 एकदा येतो.

∴ मसावि = 2x2x3 = 12 येतो.

आणखी एक उदाहरण पहा.

उदा. 36 व 54 यांचे लसावि - मसावि काढा.

36 = 2x2x3x3

54 = 2x3x383

∴लसावि = 2x2x3x3x3 = 108

मसावि = 2x3x3 = 18

कुठल्याही संख्येचे मूळ अवयव पाडताना 2, 3, 5, 7, 11 यापैकी कुठल्या मूळ संख्येने दिलेल्या संख्येला पूर्ण भाग जातो ते पहावे लागते. त्यासाठी सोपे व उपयोगी पडणारे नियम पाठ करा व नीट ध्यानात ठेवा. -

1) एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानच्या आकड्याला 2 ने पूर्ण भाग जात असेल तर त्या संख्येला 2 ने पूर्ण भाग जातो.

उदा. 50, 42, 64, 18 यांना 2 ने भाग जातो पण 17, 45, 93 यांना 2 ने भाग जात नाही.

2) एखाद्या संख्येतील सर्व आकड्यांची बेरीज करून मिळणाच्या संख्येला 3 ने भाग जात असेल, तर मूळ संख्येलाही 3 ने भाग जातो.

उदा. 315 या संख्येमध्ये, उ+1+5 = 9 व 3 ने 9 ला भाग जातो म्हणून उ15 ला 3 ने भाग जातो पण

421 मध्ये, 4+2+1 = 7 व 3 ने 7 ला भाग जात नाही म्हणून 421 ला 3 ने भाग जात नाही.

3)एखाद्या संख्येत, एकक स्थानी o किंवा 5 हा आकडा असेल तर त्या संख्येला 5 ने भाग जातो.

जसे - 315 मध्ये एकक स्थानी 5 आहे म्हणून 315 ला 5 ने भाग जातो.



पण उ7, 81, 72, 50124 यापैकी एकाही संख्येला 5 ने भाग जात नाही.

7, 11, 13 या मूळ संख्यांनी दिलेल्या संख्येला भाग जातो का हे प्रत्यक्ष भागाकार करूनच पहा. त्यासाठी लक्षात ठेवण्याजोगा सोपा नियम नाही.

सरावासाठी खालील संख्यांचे मूळ अवयव पाडा

84, 96, 114, 560, 4425, 2400.

लसावि मसावि ची काही खास गणिते पहा.

उदा. 12 व 36 यांचा मसावि व लसावि काढा.

12 = 2x2x3

36 = 2x2x3x3

दोन्ही संख्यांमध्ये 2 दोन वेळा आहे, 3 हा 12 मध्ये एकदा, 36 मध्ये दोनदा आहे.

∴ मसावि = 2x2x3 = 12

लसावि = 2x2x3x3 = 36

म्हणजे दिलेल्या संख्यांपैकीच छोटी संख्या = मसावि व मोठी संख्या = लसावि

तेव्हा लक्षात ठेवा की कधी कधी मसावि हा दिलेल्या संख्यांपैकी छोट्या संख्येएवढा असतो व लसावि हा कधी कधी दिलेल्या संख्यांपैकी मोठ्या संख्येएवढा असतो.

उदा. 56 व 25 यांचा लसावि व मसावि काढा

56 = 2x2x2x7

25 = 5x5

दोन्हींना एकही मूळ संख्या कॉमन किंवा साधारण विभाजक नाही.

∴1 हा एकच विभाजक दोघांचा कॉमन आहे.

∴ मसावि = 1

लसावि = 2x2x2x7x5x5 = 56x25 = 1400 

सरावासाठी खालील संख्यांचे लसावि व मसावि काढा -

(1) 15, 25, 60

(2) 24, 96 .

(3) 42, 25, 1050

(4) 12, 60, 108

लसावि मसावि चा उपयोग करून गणिते कशी करतात ते पहा -

उदा. 1 एका दुकानदाराकडे निळे कापड 105 मीटर, लाल कापड 60 मीटर व पांढरे कापड 120 मीटर आहे. त्याला प्रत्येक कापडाचे सारख्या लांबीचे तुकडे करायचे आहेत. जास्तीत जास्त किती लांबीचे तुकडे करता येतील?

 सगळे तुकडे सारख्या लांबीचे हवेत - तुकड्याच्या लांबीची संख्या असेल, तिने 105, 60 व 120 या सर्वांना पूर्ण भाग गेला पाहिजे म्हणजे तुकड्याच्या लांबीची संख्या 105, 60 व 120 यांची विभाजक आहे व अशी मोठ्यात मोठी संख्या हवी म्हणजे 105, 60 व 120 यांचा मसावि हवा.

105 = 3x5x7

60 = 2x2x3x5

120 = 2x2x2x3x5

∴ मसावि = 3x5 = 15

∴कापडाचे तुकडे 15 मीटरचे करता येतील.

उदा. 2 शाळेतील मुलांमध्ये, 20 मुलांच्या, 30 मुलांच्या किंवा 50 मुलांच्या अशा रांगा केल्या तर एकही मुलगा शिल्लक रहात नाही. तर शाळेत कमीत कमी किती मुले असतील?

शाळेतील मुलांच्या संख्येला 20, 30 व 25 ने पूर्ण भाग जातो

म्हणून ती संख्या 20, 30 व 25 ची विभाज्य आहे व अशी लहानात लहान संख्या म्हणजे लसावि हवा. 

20 = 2x2x5

30 = 2x3x5

25 = 5x5

∴ लसावि = 2x2x3x5x5 = 300

∴शाळेत कमीत कमी 300 मुले असतील.

(300 प्रमाणे 600, 900, 1200 या संख्याही 20, 30, 25 च्या विभाज्य आहेत पण सर्वात छोटी विभाज्य संख्या 300 आहे.)

उदा. 3 एका टोपलीत काही फुले आहेत. त्यातून 20, 15 किंवा 25 फुलांच्या माळा केल्या तर 7 फुले शिल्लक राहतात तर टोपलीत कमीत कमी किती फुले आहेत?

15, 20 किंवा 25. फुलांच्या माळा केल्या तर बरोबर 7 फुले उरतात ती बाजूला काढली तर उरलेल्या फुलांच्या संख्येला 15, 20, 25 यांनी पूर्ण भाग जातो. म्हणून उरलेल्या फुलांची संख्या 15, 20, 25 यांनी विभाज्य आहे व अशी लहानात लहान संख्या म्हणजे त्यांचा लसावि.

15 = 3x5

20 = 2x2x5

25 = 5x5

∴ लसावि = 2x2x3x5x5 = 300

∴ 7 फुले बाजूला काढल्यावर उरलेली फुले कमीत कमी 300 आहेत

∴ एकूण फुले 300+7 = 307 आहेत.

(वरील उदाहरणातही 300 प्रमाणेच 600, 900, 1200 इत्यादी संख्या 15, 20 व 25 ने विभाज्य आहेत पण सर्वात लहान विभाज्य संख्या 300 आहे)

सरावासाठी पुढील गणिते करा -

(1) सुरेशजवळ 432 लाल गोट्या, 612 पांढऱ्या गोट्या व 900 हिरव्या गोट्या आहेत. त्याला प्रत्येक रंगाच्या गोट्यांची पाकिटे भरायची आहेत. सगळ्या पाकिटांत गोट्यांची एकच संख्या असली पाहिजे. प्रत्येक पाकिटात जास्तीत जास्त किती गोट्या भरता येतील?

(2) मीनाजवळ शेवंतीची काही फुले आहेत. त्यांच्या माळा करायच्या आहेत. 12 फुलांच्या, 16 फुलांच्या किंवा 18 फुलांच्या माळा केल्या तर सगळी फुले संपतील. तिच्याजवळ कमीत कमी किती फुले असतील?

(3) टोपलीतील संत्र्याचे 25, 30 किंवा 40 चे ढीग केले तर प्रत्येक वेळी 5 संत्री उरतात. तर टोपलीत कमीत कमी किती संत्री असतील?

पुन्हा एकदा लक्षात ठेवा की दिलेल्या संख्यांना पूर्ण भाग देणारा मोठ्यात मोठा विभाजक म्हणजेच मसावि व दिलेल्या संख्यांनी विभाज्य, किंवा दिलेल्या संख्यांनी ज्या संख्येला पूर्ण भाग जातो अशी लहानात लहान संख्या म्हणजे लसावि. मसावि हा कमीत कमी एक व जास्तीत जास्त दिलेल्या संख्यांपैकी सर्वात छोट्या संख्येइतका असतो. लसावि हा कमीत कमी दिलेल्या संख्यांपैकी सर्वात मोठ्या संख्येइतका व जास्तीत जास्त दिलेल्या सर्व संख्यांच्या गुणाकाराएवढा असतो.