‘त्या’ प्रश्नांची उत्तरे

१७. ‘त्या’ प्रश्नांची उत्तरे

लेखांक १५ मधील प्रश्नांची उत्तरे

 प्रश्न १ : वय ओळखा : ३६ ह्या आकड्याचे तीन गुणक किती प्रकारे पाडता येतील? एक नमुना म्हणजे ३६ = २ x ३ x ६. जर त्या तीन मुलांची वये २, ३, ६ असती तर त्या वयांची बेरीज २ + ३ + ६ = ११ इतकी भरते. जर शेजारचा घरनंबर ११ असेल तर विक्रेत्याने मुलांची वये २, ३, ६ अशी सांगितली असती - कारण ३६ चे ३ गुणक सर्व प्रकारे पाडून पाहिले तर फक्त एकाच प्रकारात (म्हणजे वर सांगितल्याप्रमाणे) त्यांची बेरीज ११ भरते. ज्या अर्थी घर नंबर पाहूनसुद्धा विक्रेत्याला पेच पडला त्या अर्थी घरनंबर ११ नव्हता ! जर ३६ च्या तीन गुणकांची - ते वेगवेगळ्या प्रकाराने पाडले असले तरी - बेरीज तितकीच होत असेल तर विक्रेत्याला प्रश्न पडणे साहजिक आहे. म्हणून उत्तर शोधण्यासाठी ३६ चे ३ गुणक वेगवेगळ्या तहेने पाडून पाहा. असं दिसून येईल की फक्त (२, २, ९) आणि (१, ६, ६) हे गुणकच असे आहेत की त्यांची बेरीज सारखी भरते. म्हणजे घरनंबर १३ असणार. मुलांची वये २, २, ९ किंवा १, ६, ६ असणार. पण घरमालकिणीला ‘सर्वात मोठी’ मुलगी ज्या अर्थी होती त्या अर्थी त्या मुलीचे वय ९ होते. (६, ६ ही जुळ्यांची वये होतात !) म्हणून विक्रेत्याने २, २, ९ हा पर्याय निवडला. म्हणून मुलांची वये २, २, ९. 

 प्रश्न २ : जन्मतारीख ओळखा : पार्टी १ जानेवारीला भरली होती आणि अभिजितचा वाढदिवस ३१ डिसेंबरला होता.

 आपण असे समजू की अभिजितने आपलं विधान १ जानेवारी १९७८ ला केलं. 'परवा मी १५ वर्षाचा होतो' - म्हणजे ३० डिसेंबर १९७७ ह्या दिवशी त्याचे वय १५ पूर्ण असून, तो १६ व्या वर्षांत होता. हे १६ वे वर्ष ३१ डिसेंबर १९७७ ला पूर्ण झाले. त्याचप्रमाणे ३१-१२-७८ ला तो १७ चा आणि ३१-१२-७९ ला १८ चा होणार. ज्या अर्थी तो १९७८ मध्ये हे संभाषण करत होता त्या अर्थी ‘पुढच्या वर्षी म्हणजे १९७९ संपेपर्यंत त्याला १९ वें वर्ष लागणार !

 प्रश्न ३ : बाप से बेटी सवाई : लीलावतीने निवडलेला मार्ग असा : ती त्या दोघा चॅम्पियन्सशी वेगवेगळ्या खोलीत, वेगळ्या पटांवर खेळली - एकाबरोबर 'काळी’ बाजू घेऊन तर दुसऱ्याबरोबर ‘पांढरी’ बाजू घेऊन. पहिल्या चॅम्पियनने जी सुरुवात केली ती तिने दुसऱ्या विरुद्ध वापरली आणि दुस-याचं उत्तर पहिल्या विरुद्ध वापरलं. हा मार्ग तिने शेवटपर्यंत वापरला ! त्यामुळे वास्तविक खेळ त्या दोघा चॅम्पियन खेळाडूंतच होत असून जर त्यात पहिला जिंकला तर लीला दुस-या पटावर जिंकणार. जर दुसरा जिंकला तर लीला पहिल्या पटावर मात करणार आणि खेळ ‘ड्रॉन' झाल्यास तिची दोनही पटांवर बरोबरी होणार.

 प्रश्न ४ : हे जमेल का? कोप-यातले दोन चौकोन कापल्यामुळे पटावर ३० पांढरे आणि ३२ काळे चौकोन उरले. झाकायच्या लांबड्या पट्टीने प्रत्येकी एक काळा आणि एक पांढरा चौकोन झाकला जातो. म्हणून ३० पांढरे आणि ३२ काळे चौकोन झाकता येणार नाहीत.

 प्रश्न ५ : शंटिंग करा : खालील चित्रांच्या मदतीने ह्या प्रश्नाचे उत्तर समजणे सोपं होईल. प्रथम डाव्या बाजूच्या रुळांवरला डबा - २ इंजिनाच्या मदतीने ‘क’ ह्या भागावर पोचवावा. इंजिन परत पहिल्या जागी आणावे. पहा चित्र क्रमांक १.



चित्र क्र. १

 मग इंजिन उजवीकडच्या रुळावर नेऊन त्याला अनुक्रमे डबा - १ आणि डबा २ जोडावे, आणि हे तिन्ही खालच्या रुळावर डाव्या फाट्याच्या डावीकडे आणून सोडावेत. पहा चित्र क्रमांक २.

 डबा- २ तेथेच सोडून डबा - १ हा इंजिनाच्या मदतीने उजवीकडच्या रुळावरून ‘क’ वर पोचवावा आणि परत येऊन इंजिनाच्या मदतीने डबा - २ उजव्या रुळावर आणावा.

चित्र क्र. २

 मग इंजिन डाव्या रुळावर आणून डबा - १ हा ओढून आणावा आणि इंजिन खालच्या रुळावर आणावं - म्हणजे शंटिंग पुरं झालं ! पहा चित्र क्रमांक ३.

चित्र क्र. ३

 प्रश्न ६ असं का व्हावं ? : अशी कल्पना करा की ‘अ’ पासून 'ब' कडे जाणाऱ्या बसेस दर तासाला 'क' वरून जातात. म्हणजे 'ब' पासून अ' कडे जाणा-या बसेससुद्धा दर तासाला ‘क’ वरून जात असणार. पण बसेसचं वेळापत्रक असं होतं की ‘अ’ कडे जाणारी बस बरोबर तासाच्या ठोक्याला - म्हणजे १ वाजता, २ वाजता, ३ वाजता ...... अशी ‘क’ स्थानकावर येई, आणि 'ब' कडे जाणारी बस १ वाजून ६ मिनिटांनी, २ वाजून ६ मिनिटांनी....... अशी ‘क’ वरून जाई. त्यामुळे तो रिकामटेकडा माणूस तासाच्या पहिल्या ६ मिनिटात स्थानकावर आला तर त्याला 'ब' कडे जाण्याची बस मिळे आणि शेवटच्या ५४ मिनिटांत आला तर त्याला ‘अ’ कडे जाणारी बस पकडता येई. तो माणूस ‘वाटेल त्यावेळी' म्हणजे वेळ ठरवून येत नसल्याने तो कुठल्याही तासाच्या शेवटच्या ५४ मिनिटांत स्थानकावर यायची संभाव्यता त्या तासाच्या पहिल्या ६ मिनिटांत तेथे येण्याच्या संभाव्यतेच्या ९ पट होती. म्हणून तो १०० पैकी ९० वेळा 'अ' कडे आणि १० वेळा 'ब' कडे जाई.

 प्रश्न ७ वाढदिवस : तुम्हाला आश्चर्य वाटेल पण पैज जिंकण्याची शक्यता जवळजवळ ७० टक्के आहे ! वर्षाचे ३६५ दिवस जर गृहीत धरले तर असं गणित मांडा. कुठलाही एक मुलगा निवडा. त्याचा वाढदिवस ज्या दिवशी असेल त्या दिवशी बाकीच्या २९ मुलांचा वाढदिवस नसेल याची संभाव्यता काय? त्या मुलांपैकी एक मुलगा निवडल्यास त्याचा वाढदिवस पहिल्याच्या वाढदिवसा दिवशी नसेल याची संभाव्यता ३६४/३६५ आहे. त्या दोघांचे वाढदिवस वेगवेगळे असले तर

तिसऱ्याचा वाढदिवस ते दोन दिवस वगळून तिस-याच दिवशी असण्याची संभाव्यता ३६३/३६५ आहे. म्हणजे त्या तिघांचे वाढदिवस वेगवेगळ्या दिवशी असण्याची संभाव्यता इतकी भरते -

   ३६४/३६५ x ३६३/३६५

 हेच गणित जर ३० मुलांच्या बाबतीत मांडत गेलो तर त्या सर्वांचे वाढदिवस वेगवेगळ्या दिवशी असण्याची संभाव्यता.

  ३६४/३६५ x ३६३/३६५ x ३६२/३६५ x ....

   ...... x ३३७/३६५ x ३३६/३६५

 इतकी भरते. हा गुणाकार (आहे खरा प्रचंड !) केला तर उत्तर ३० टक्क्यांपेक्षा कमी भरते. म्हणजे असं न होण्याची संभाव्यता ७० टक्क्याहून जास्त आहे. म्हणून ही पैज मारून तुम्ही पैसे मिळवू शकाल !

♦ ♦ ♦