उत्तर सापडलं ?

५. उत्तर सापडलं ?

 लेखांक १ मध्ये एक कूट प्रश्न दिला होता : एका कागदावर अनेक देश असलेला नकाशा रंगवायला कमीत कमी किती रंग लागतील? शेजार-शेजारचे देश म्हणजे ज्यांची सीमारेषा काही भागात एकरूप होते असे - वेगळ्या रंगाने रंगवणे आवश्यक आहे.

 पाच रंग हे काम करायला पुरे आहेत. पण चारच रंग पुरतील का? प्रश्नाचे उत्तर ‘होय’ असं आहे. हे उत्तर अिलिनॉय युनिव्हर्सिटीच्या हाकन (Haken) आणि आपेल (Appel) ह्या गणिततज्ज्ञांनी शोधून काढलं. त्यासाठी त्यांना कंप्यूटरचा आसरा घ्यायला लागला. कंप्यूटरने हे गणित सोडवायला १२०० तासांचा अवधी घेतला.

 कुठलंही गणित - लहान किंवा मोठे - सोडवताना मानवी मेंदूला ‘होय’, ‘नाही’ अशा प्रकारचे अनेक तर्कसंगत निर्णय घ्यावे लागतात.

 आपेल आणि हाकन ह्यांनी हाती घेतलेल्या गणितात असे दहा अब्ज निर्णय घ्यावे लागणार होते ! म्हणून कंप्यूटरची आवश्यकता भासली.

 ह्या प्रश्नाचे ह्याहून सुटसुटीत उत्तर सापडेल असंही काही गणिततज्ज्ञांना वाटतं.

 अशी घडी घालता येईल ? :

 समजा, तुमच्याकडे ऐसपैस पण तलम कापडाचा एक टॉवेल आहे. त्याची एक घडी घातली, की त्याचे क्षेत्रफळ निम्मं आणि जाडी दुप्पट होते.

अशा त-हेने तुम्ही तीस वेळा घड्या घातल्या तर टॉवेलची जाडी किती होईल? मुळात त्याची जाडी एक-दशांश मिलिमीटर म्हणजे मीटरच्या हजाराव्या भागाचा दहावा भाग - इतकी असली तर घड्या घातल्यावर ती साधारणपणे किती होईल? इथे चार पर्याय सुचवले आहेत :

  १. एक मीटर किंवा कमीच

  २. शंभर मीटर

  ३. एक ते दहा किलोमीटर

  ४. दहा किलोमीटरहून जास्त

 तुम्ही हिशोब करून पहा म्हणजे उत्तराने तुम्हालाच आश्चर्य वाटेल. (आणि प्रत्यक्षात अशा घड्या घालणे किती अवघड असेल याचीही कल्पना येईल.)

सर्वच अनंत सारखे नसतात :

 वरील प्रश्नात सतत २ ने गुणत गेल्यास किती मोठी संख्या तयार होत जाते याची कल्पना देण्याचा प्रयल केला आहे. तर सर्वात मोठा संख्या कोणती?

 ‘अनंत' किंवा Infinity ही संख्येची कल्पना, अशा मोठ्या-वाढत जाणा-या संख्यांतूनच निर्माण झाली आहे. आपण म्हणतो :

  १, २, ३, ४, ...............(∞)

 हा क्रम वाढत वाढत अनंताला जाऊन भिडतो. ह्या क्रमाच्या शेवटी अनंत हे '∞' ह्या चिन्हाने सूचित केलं जातं.

 अनंतात अनंत मिळवला तरी अनंत हेच उत्तर येतं.

  ∞ + ∞ = ∞

 हाच नियम गुणाकाराला पण लागू आहे.

  ∞ x ∞ = ∞

 पण सर्वच अनंत सारखे असतात का?

 नाही !

दोन प्रकारचे अनंत :

 वरील आश्चर्यकारक उत्तराचा खुलासा असा - आपण वर १, २, ३, ४ - अशी संख्यांचा क्रम लावला ज्याचा शेवट अनंतात होतो. पण आपल्याला ह्या क्रमात अमुक एक नंबरची संख्या व्यवस्थित शोधून काढता येते. उदाहरणार्थ, हजारावी संख्या म्हणजे १०००, दहा हजारावी म्हणजे १००००.

 अशा प्रकारच्या ∞ ला ‘मोजण्याजोगा अनंत' म्हणतात.

 ह्याची काही उदाहरणे पहा : खालील न संपणारा अनुक्रम

  २, ४, ६, ८, ........

 हा सर्व सम संख्यांचा आहे. म्हटले तर ही अनुक्रमे आधी नमूद केलेल्या

  १, २, ३, ४ -----

  ह्या अनुक्रमात समाविष्ट आहे. पण दोन्ही अनुक्रमात, मोजण्याइतक्या अनंत (∞) संख्या आहेत, २, ४, ६, ८ - ह्या अनुक्रमात अमुक एक क्रमाची संख्या सांगता येते. उदाहरणार्थ, हजारावी संख्या म्हणजे २०००, दहा हजारावी संख्या म्हणजे २०,०००......

 दुसरे उदाहरण : ० ते १ च्या दरम्यानच्या व्यवहारी अपूर्णांकांचे. (एका पूर्णांकाला दुसऱ्या पूर्णांकाने भाग दिल्यास निर्माण होणारा अपूर्णाक म्हणजे व्यवहारी अपूर्णांक) हा अनुक्रम खालीलप्रमाणे तयार करता येतो :

  १/२, १/३, २/३, १/४, २/४, ३/४, १/५, २/५, ३/५, ४/५

 हा अनुक्रम वाढत्या क्रमाने नाही. तसेच एकच अपूर्णांक अनेक वेळा वरील अनुक्रमात येतो. उदाहरणार्थ १/२, २/४, ३/६ हे सर्व एकच अपूर्णांक दर्शवतात.

 परंतु ह्या अनुक्रमात ० ते १ च्या दरम्यानचे सर्व व्यवहारी अपूर्णांक आहेत. आणि त्यांचा क्रम लावता येतो

 उदाहरणार्थ १०० वा अपूर्णांक ९।१५ आहे. (१००० वा अपूर्णांक शोधून काढा.)

 म्हणून ० ते १ च्या दरम्यानच्या सर्व व्यवहारी अपूर्णांकांची संख्या मोजण्याइतकी अनंत आहे.

 त्या उलट काहीं अनंत असे असतात, की ज्यांची वरप्रमाणे क्रम लावून मोजदाद करता येत नाही. उदाहरणार्थ, खालील चित्रात एक युनिट लांब सरळ रेषा काढली आहे.

 ० ते ५ च्या दरम्यानचे अपूर्णांक ह्या रेषेवर दाखवता येतात. १/२, १/४, १/३ हे प्रत्यक्ष दाखवले आहेत ते व्यवहारी अपूर्णांक आहेत. अशा प्रकारच्या सर्व व्यवहारी अपूर्णांकांनी ही रेषा भरून जाईल का? रेषेवर अनंत बिंदू आहेत आणि व्यवहारी अपूर्णांकही अनंत आहेत. पण वास्तविक बिंदूंचा अनंत हा व्यवहारी अपूर्णांकांच्या अनंतापेक्षा मोठा आहे आणि हा अनंत १, २, ३, ४.... ह्या क्रमाने मोजण्यासारखा नाही !

 म्हणजे ह्या रेषेवरच्या बिंदूंचा असा कुठलाच क्रम लावता येणे शक्य नाही की ज्यामुळे कुठलाही बिंदू त्यांमध्ये अमुक नंबरचा (म्हणजे १०० वा किंवा १००० वा इ.) असं सांगता येईल. हे गणिताने सिद्ध करता येतं.

 त्यामुळे सगळेच अनंत सारखेच असतात असं गणिती कबूल करणार नाहीत !

♦ ♦ ♦