दोन आकड्यांचे गणित
४. दोन आकड्यांचे गणित
संपादनलेखांक ३ मध्ये दोन आकड्यांच्या गणिताचे उदाहरण विचारले होते. दोन आकडे म्हणजे ० आणि १, त्यांच्या गणिताचे नियम खालीलप्रमाणे असतात.
० + ० = ० ० + १ = १ १ + १ = ०
त्या गणिताचे एक उदाहरण दिव्याच्या बटनात सापडते. ह्या बटनाच्या दोन स्थिती असतात. दिवा लावलेली (ON) आणि दिवा न लावलेली (OFF) अशी ह्या दोन स्थितींना नावे देऊ, कुठल्याही परिस्थितीत बटन दाबले की फरक होतो; ON चे OFF आणि OFF चे ON परत एकदा दाबले की परिस्थिती पूर्ववत् होते. 'पूर्ववत स्थिती'बद्दल ० आणि ‘बदललेली स्थिती'बद्दल १ हा आकडा वापरला की वरील गणिताचा प्रत्यय येतो.
व्यवहारात कुठलीही संख्या लिहिण्याकरता आपण ० ते ९ पर्यंत दहा अंक वापरतो. ते का? माणसाला दहा बोटे असतात व मोजण्याच्या सोयी करता दहा हा आकडा वापरात आला असावा. पण ह्याचा अर्थ दहामध्ये असा विशेष काही गुण नाही तो इतर संख्येत नाही. जर आपण ० ते ७ हे आठ आकडे वापरले असते तरी आपल्याला कुठलीही संख्या लिहिता आली असती. उदाहरणार्थ 'आठ' ही संख्या कशी लिहायची? देशांक पद्धतीत आपण जसे ९ नंतरचा आकडा नसल्याने 'दहा' ही संख्या
१० अशी लिहितो तसेच अष्टांक पद्धतीत ‘आठ' लिहायला १० वापरावे लागतील. ह्याच पद्धतीत ‘सतरा' म्हणजे २१, इतर संख्या वाचकांनी अष्टांक पद्धतीत लिहून पहाव्यात.
हे संख्या लिहिण्याचं काम आपण दहा ऐवजी आठ अंकांनी करू शक़तो. हेच काम कमीत कमी किती अंकांनी होईल? कमीत कमी दोनच अंक लागतील : ० आणि १. ह्या दोन अंकांचे अंकगणित कुठलीही संख्या लिहिण्यात किंवा त्यांची बेरीज-वजाबाकी, गुणाकार-भागाकार करण्यात आपल्या नेहमीच्या अंकगणिताइतकेच क्षम आहे.
३ x ७ = २१
हा गुणाकार दोन अंकांच्या अंकगणितात कसा दिसेल?
११
x १११
---------------------------
११
११
११
---------------------------
१०१०१
हा गुणाकार नेहमीच्या बाळबोध पद्धतीनेच केलेला आहे; फक्त १ पलीकडे गेले की दोन = १० हे ध्यानात ठेवावं लागतं.
आधुनिक गणकयंत्रांना ० आणि १. ह्या आकड्यांची कल्पना वर सांगितलेल्या 'स्विच' च्या उदाहरणाने दिली जाते. त्यामुळे ते ह्या दोन आकड्यांच्याद्वारेच कुठलीही संख्या लिहितात. आपणही हे दोनच आकडे का वापरत नाही? अर्थात दहा अंकांची आपल्याला सवय आहे हे कारण सोडले तरी व्यवहाराच्या दृष्टीने कुठलीही संख्या ह्या दोनच आकड्यात खुपच लांबलचक होते हे वरील गुणाकाराच्या उदाहरणाने लक्षात येण्याजोगं आहे.
आळशी मुलाची गोष्ट :
एका गणित्याचा मुलगा स्वभावाने आळशी होता. तो काही करू गुणाकार शिकायला तयार होत नव्हता. फार तर २ ह्या आकड्याने
गुणाकार भागाकार करायची त्याची तयारी होती. मग त्याच्याकडून गुणाकार कसा करून घ्यायचा? शेवटी त्याच्या वडिलांनी एक युक्ती योजली. आपल्या चिरंजीवांना बेरीज-वजाबाकी आणि २ ने गुणाकार-भागाकार येवढंच येतं याचा विचार करून त्यांनी त्याला खालील पद्धत शिकवली. ती पद्धत एका उदाहरणाने समजावून घेऊया.
७ x १७ = ११९
हा गुणाकार कसा करायचा ?
कागदाच्या एका बाजूला १७ आणि दुस-या बाजूला ७ लिहा. नंतर १७ ला २ ने भागा आणि ७ ला २ ने गुणा आणि त्या त्या आकड्यांच्या खाली लिहा.
१७ ७
८ १४
ह्यात १७ ला २ ने भागल्यावर उरलेली बाकी १ असते. पण तिकडे दुर्लक्ष करा. हाच प्रकार पुढे चालू ठेवा. अखेर डावीकडे फक्त १ येतो.
१७ ७
८ १४ <---
४ २८ <---
२ ५६ <---
१ ११२ <---
आता डावीकडल्या स्तंभात २ ने भाग जाणारे जे जे आकडे असतील त्यांच्या समोरच्या उजव्या स्तंभातील संख्या बाजूला काढा. वर त्या संख्या बाणाने दाखवल्या आहेत. उरलेल्या संख्यांची बेरीज म्हणजेच हवे असलेले उत्तर.
७
+ ११२
-----------
११९
त्या मुलाला ह्या पद्धतीने गुणाकार करता येऊ लागला. तुम्ही पण हा नियम वापरून पहा आणि .......
ह्या नियमाचे गुपित ० आणि १ च्या अंकगणिताने चटकन कळेल. शोधायचा प्रयत्न करा!