गणिताच्या सोप्या वाटा/अपूर्णांक

अपूर्णांक

आपण अभ्यासाला सुरुवात अपूर्णांकांपासून करू या.${\frac {2}{3}},{\frac {4}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {6}{8}}$या अपूर्णांकांची तुम्हाला माहिती आहे. उदाहरणार्थ ${\frac {1}{2}}$ भाकरी म्हणजे अर्धी भाकरी - म्हणजेच एका भाकरीचे दोन सारखे भाग करून त्यातला एक घेतला की ती झाली ${\frac {1}{2}}$ भाकरी.

${\frac {3}{4}}$ भाकरी म्हणजे एका भाकरीचे चार सारखे भाग करून त्यातले तीन घ्यायचे. ${\frac {6}{7}}$ भाकरी म्हणजे 7 सारखे भाग करून त्यातले सहा घ्यायचे. ${\frac {2}{5}}$ भाकरी म्हणजे ५ सारखे भाग करून त्यातले 2 घ्यायचे.

आता ${\frac {5}{4}}$ भाकरी म्हणजे काय बरं ? सारखे चार भाग केले व त्याच आकाराचे 5 भाग घेतले म्हणजे झाले ${\frac {5}{4}}$ . म्हणजे ${\frac {5}{4}}$ हा एकाहून मोठा होणार हं ! तसंच ${\frac {3}{2}}$ म्हणजे अर्थी भाकरी तीन वेळा घ्यायची. आता या सगळ्यावरून एक गोष्ट पक्की ध्यानात ठेवा - अपूर्णाकाचा खालच्या बाजूचा अंक म्हणजेच छेद हा सारखे भाग करण्यासाठी, म्हणजे भागाकार करण्यासाठी वापरायचा. सारखे भाग केले की त्यात एका भागाएवढे एकूण किती भाग घ्यायचे, तर वरच्या अंकाएवढे। म्हणजे वरचा अंक किंवा अंश हा गुणायला वापरायचा. अक्षरांच्या भाषेत अपूर्णांक अ/छ लिहिला, तर एखाद्या वस्तूचा अ/छ भाग म्हणजे छ ने त्या वस्तूला भागायचं आणि अ ने गुणायचं.

अपूर्णांकामध्ये तुलना कशी करायची हे माहीत आहे का ? कुठलेही पूर्ण आकडे दिले असले, जसे 70, 58, 94, 32, तर त्यातला सर्वात मोठा कुठला, लहान कुठला हे तुम्हाला समजतं. पण अपूर्णांकामध्ये लहान मोठा ओळखणं जरा कठीण आहे. कारण अपूर्णांक हे वेगवेगळ्या उंचीवर उभे असलेलया लोकांप्रमाणे असतात.

या चित्रांत कुठला माणूस उंच वाटतो ? अ की ब ? ही दोन्ही माणसे वेगवेगळ्या उंचीच्या ठोकळ्यांवर उभी असल्यामुळे लहान मोठा ठरवणं कठीण आहे. ती जर एकाच उंचीच्या ठोकळ्यावर उभी राहिली, अशी -

तर लगेच ओळखता येतं की अ हा ब पेक्षा उंच आहे. अपूर्णांकांचे असंच आहे. त्यांचा पायाचा ठोकळा म्हणजे छेद सारखा असेल, तर त्यांची तुलना करून लहान मोठा ठरवता येतं.

आता छेद सारखा कसा करायचा ? त्यासाठी हे लक्षात असू द्या की कुठल्याही अपूर्णांकाच्या अंशाला व छेदाला एकाच अंकाने गुणलं तर अपूर्णांकाची किंमत बदलत नाही. जसे २/3 = 4/6 = २ x 2 /4 x 6

 मग हा नियम वापरून कुठल्याही दोन अपूर्णांकाचे छेद समान करणं शक्य आहे ना ? 2/3 आणि 4/7 यांची तुलना करूं. दोन्ही अपूर्णांकांचे छेद 3 x 7 = 21 करणं शक्य आहे.

  म्हणून 2/3 = 2/3 x 7/7 = 14/21

  व 4/7 = 4/7 x 3/3 = 12/21

आता हे अपूर्णांक '21' या एकाच उंचीच्या ठोकळ्यावर उभे राहिले! मग 14/21 हा 12/21 पेक्षा मोठा आहे हे समजतं.

पूर्णाक व अपूर्णांकाची तुलना करताना पूर्णांकाचा छेद 1 असतो. म्हणजेच 3 = 3/1, 12 = 12/1 हे ध्यानात ठेवा.

2/3 हा 4/7 पेक्षा मोठा आहे हे आपण दाखवलं. गणिताच्या भाषेत 2/3 > 4/7 म्हणजेच 2/3 हा 4/7 पेक्षा मोठा आहे असंही लिहितात. >, < या चिन्हांचा मनात घोटाळा होत असेल तर एक लक्षात ठेवा. > किंवा < ही खूण वापरताना मोठा आकडा नेहमी कोनाच्या आत, आरामात बसतो तर कोनाचे टोक बिचाऱ्या छोट्या आकड्याला टोचत असतं.