गणिताच्या सोप्या वाटा/अक्षरांचे गणित

अक्षरांचे गणित किंवा बीजगणित

अक्षरांचे गणित जरा वेगळे दिसलं तरी अवघड नसतं. आकड्यांची मोठमोठी व क्लिष्ट गणितं सोपी करण्यासाठीच अक्षरांचं गणित शोधून काढलेलं आहे. यात म', 'न', 'क्ष', ‘ग’ अशी अक्षरं संख्यांच्या ऐवजी वापरली जातात. 12म म्हणजे 12 X म. तसच न² म्हणजे न X न. जसे 4² = चाराचा वर्ग = 4 x 4. किंवा क्ष³ = क्ष चा घन = क्ष x क्ष x क्ष. (तीन वेळा क्ष)

प⁵ = प चा पाचवा घात = प x प x प x प x प (पाच वेळा प)

12⁴ = 12 चा चौथा घात = 12 x 12 x 12 x 12. (चार वेळा 12)

अक्षरांच्या संख्यांची बेरीज वजाबाकी देखील सोपी असते.

4म + 3म = 7म

10क्ष + 2क्ष + 9क्ष = 21क्ष

15क्ष - 7क्ष = 8क्ष

20ग - 4ग = 16ग

हे समजलं ना ? आता 4न - 10न हे कसे करायचे पहा. 10न हे 4न पेक्षा मोठे आहेत म्हणून 4न मधून 10न वजा करण्याची रीत अशी : 10न मोठे म्हणून, 10न व 4न यांची चिन्हे उलटी करायची व मोठ्या संख्येचे चिन्ह आलेल्या उत्तराला द्यायचं. हे असं का केलं पहा. आता न ही एक लांबी आहे असे समजा. 4न म्हणजे उजवीकडे 4 वेळा न ही लांबी चालून गेलो व मग - 10न म्हणजे विरूद्ध दिशेला किंवा डाव्या बाजूला 10न लांबी चालून गेलो तर आपण पहिल्या जागेपासून कुठे असू ? पहिली जागा म्हणजे शून्य अंतरावरची जागा म्हणायची.



आकृतीत पहा - 0 पासून 4न उजवीकडे व मग 10 न डावीकडे चालून गेलं की एकूण 6न डावीकडे म्हणजे - 6न अंतर चालून गेल्याप्रमाणे उत्तर येतं की नाही ?

इथे आणखी नीट समजायला हवे असेल तर

4न - 10न = 4न - 4न - 6न = 0 - 6न = - 6न

हे लक्षात घ्या. म्हणजे दोन विरूद्ध चिन्हांच्या एकाच प्रकारच्या पदांची 

बेरीज करताना, लहान पदाएवढंच पद मोठ्या पदातून वेगळे काढले तर विरुद्ध चिन्हांच्या समान पदांची बेरीज शून्य येते. मग मोठ्या पदातून लहान पद काढल्यावर जे उरतं, तेच उत्तर येतं.

अक्षरांच्या बेरजा वजाबाक्या करताना हे लक्षात ठेवा की फक्त सजातीय पदांचीच बेरीज वजाबाकी करता येते. म्हणजे 6ब - 2ब = 4ब, पण 6अ - 2ब म्हणजे 6अ - 2ब असेच लिहावे लागतात. इथे 6अ मधून खरोखर 2ब वजा करता येत नाहीत कारण अ आणि ब हे काय आहेत हे आपल्याला ठाऊक नाही. कुठल्यातरी संख्या आहेत. किंवा वस्तू आहेत एवढंच माहीत आहे. विविध अक्षरांची व संख्यांची बेरीज वजाबाकी होऊन पदावली बनते.

(15म - 4न + 10क्ष), (6अ^२' + 4अब - 7ब), (25क्ष - 36) या सगळ्या पदावल्या आहेत. यांच्या बेरजा वजाबाक्या करताना सजातीय पदांच्या बेरजा वजाबाक्या करायच्या असतात.

उदा० 1. (15म - 4न + 10क्ष) व (4म + 2न) या पदावल्यांची बेरीज अशी करता येते

15म - 4न + 10क्ष

+ 4म + 2न

--------------------

19म - 2न + 10क्ष

.. (15म - 4न + 10क्ष) + (4म + 2न)
= 19म - 2न + 10क्ष.

एका पदावलीतून दुसरी पदावली वजा करायची असेल तर आतां हे लक्षात ठेवा की एकादं पद वजा करणं म्हणजे त्याचे चिन्ह बदलून बेरीज करणं होय. जसे 5न मधून 2न वजा करणं म्हणजे
5न + (- 2न) = 5न - 2न = 3न
किंवा 6म मधून (- 3म) वजा करणे म्हणजे 6म - (- 3म)

= 6म + 3म = 9म.




तसंच पुढील अधिक उणे चिन्हांचे नियम पाठ करा.

(-) x (-) = (+), (+) x (+) = (+), (-) x (+) = (-),

(+) x (-) = (-)

वजा x वजा = अधिक,   अधिक x अधिक = अधिक,

वजा x अधिक = वजा,   अधिक x वजा = वजा.

जसे -(-) = क्ष, +(+क्ष) = क्ष, -(+क्ष) = -क्ष, +(-क्ष) = -क्ष

आता दोन पदावल्यांची वजाबाकी कशी करायची पहा -

उदा० (4म + 6न - क्ष) या पदावलीतून (2म - न + 2क्ष) ही पदावली वजा करायची आहे.

म्हणजे (4म + 6न - क्ष) - (2म - न + 2क्ष)

आतां एकादी पदावली वजा करणे म्हणजे तिच्यातील प्रत्येक पद वजा करायचं असतं म्हणजे 2म, -न, 2क्ष ही सगळी पदं वजा करायची आहेत.

  4म + 6न - क्ष    4म + 6न - क्ष
 = - (2म - न + 2क्ष) =  + -2म + न - 2क्ष
        --------------
        2म + 7न - 3क्ष

इथे पुन्हा लक्षात घ्या की एकादी पदावली वजा करताना प्रत्येक पद वजा करायचं म्हणजेच प्रत्येक पदाचे चिन्ह बदलून ते मिळवायचं.

आणखी एक उदाहरण पदावल्यांच्या वजाबाकीचं पहा -

  (6म + 7न - 11र)    6म + 7न - 11र
 = - (10म - 2न - 15र) =  + - 10म + 2न + 15र)
        --------------
        - 4म + 9न + 4र

 सरावासाठी खालील वेरजा व वजाबाक्या करा.

(1) (8 + 4ब - क) + (2अ - 6ब + 3क)

(2) (2म + 3न + 4क्ष) + (म - 7न + क्ष)

(3) (7क + 5ख - 2ग) + (- 3क + ख - 2ग)

(4) (5 अ + 10ब - 25क) - (2अ - 4ब + 10क)

(5) (8 क + ख + 4ग) - (- क + 2ख + 3ग)

(6) (4म – न + 13) - (2म - न - 1)