गणिताच्या सोप्या वाटा/मिश्र भागीदारी व इतर

मिश्र भागीदारी, चक्रवाढ व्याज, व्यस्त प्रमाण इ.

विद्यार्थ्यांना हा भाग या पुस्तकातील सर्वात अवघड भाग असा वाटेल. हा भाग वाचायला सुरू करण्यापूर्वी गुणोत्तर प्रमाण, सरळव्याज व पहिल्या भागातील व्यस्त प्रमाण हे चांगले समजावून घ्या, हवं तर त्यांची उजळणी करा. त्यानंतर हा अवघड भाग तेवढा कठीण वाटणार नाही.

मिश्र भागीदारी : कधी कधी दोन अगर जास्त लोक वेगवेगळ्या संख्यांचे भांडवल धंद्यात गुंतवतात व त्यांच्या भांडवलाच्या प्रमाणात त्यांना फायदा अगर तोटा मिळतो हे आपण पाहिले. पण जेव्हा दोन माणसे वेगवेगळ्या मुदतीसाठी भांडवल देतात, तेव्हा त्या मुदतीचाही विचार फायदा वाटून घेताना करावा लागतो. अशा वेळी दिलेल्या माहितीचा उपयोग करून प्रत्येकाने एकाच महिन्यासाठी, किंवा एकाच वर्षासाठी किती भांडवल ठेवले आहे हे शोधावे. 200 रु. भांडवल 4 महिन्यासाठी गुंतवले तर ते 800 रु. भांडवल 1 महिन्यासाठी गुंतवल्याप्रमाणे होते. अशा प्रकारचे गणित कसे सोडवता येते ते पहा.

उदा. कमलाने 4000 रु. दोन वर्षांसाठी दुकानात गुंतवले तर लीलाने 6000 रु. 10 महिन्यांसाठी गुंतवले. दुकानाचा फायदा 2600 रु. असेल तर प्रत्येकीने किती फायदा वाटून घ्यावा?

इथे मुदत 2 वर्षे किंवा 24 महिने व 10 महिने अशी वेगवेगळी आहे. म्हणून प्रत्येकीने 1 महिन्यासाठी किती रक्कम गुंतवली ते काढू.

कमलाने 4000 रु. 24 महिन्यांसाठी म्हणजेच

24x4000 = 96,000 रु. एका महिन्यासाठी गुंतवले.

तर लीलाने 6000 रु. 10 महिन्यांसाठी म्हणजेच

6000x10 = 60,000 रु. एका महिन्यासाठी गुंतवले.

∴ आता दोघींना नफा 96000/60000 = 96/60 = 8/5

या प्रमाणात वाटायचा. कमलाचा नफा 8p व लीलाचा 5p मानला तर

8p + 5p = 13p = 2600

∴ p = 200 

∴कमलचा नफा 1600 रु. व लीलाचा 1000 रु. होईल.

ज्याप्रमाणे दोन अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी दोघांचाही समान छेद हवा त्याचप्रमाणे दोन वेगवेगळ्या भांडवलांची तुलना करताना दोघांचीही समान मुदत असावी.

आणखी एक उदाहरण याच प्रकारचे पहा -

उदा. एका कुरणात हसनच्या 6 म्हशी 12 दिवस, नागेशच्या 8 म्हशी 10 दिवस व रामलालच्या 5 म्हशी 8 दिवस चरल्या. कुरणाचा एकूण खंड 576 रु. असल्यास प्रत्येकाने किती खंड द्यायचा?

प्रत्येकाने एकच दिवस म्हशी चारल्या असे समजू व तो आकडा काढू.

हसनने 6 म्हशी 12 दिवस म्हणजेच 6x12 = 72 म्हशी एका दिवसात चारल्या असे समजता येईल. त्याचप्रमाणे

नागेशने 8x10 = 80 म्हशी व रामलालने 5x8 = 40 म्हशी एकाच दिवसात चारल्या असे समजू म्हणूच त्या तिघांचा खंड हा 72:80:40 किंवा 9:10:5 या प्रमाणात असला पाहिजे. (गुणोत्तर प्रमाणातील सर्व संख्यांना समाईक अवयवाने भागून गुणोत्तर प्रमाणाला संक्षिप्त रूप देणे फायद्याचे असते.)

आता हसनचा खंड 9r, नागेशचा 10r व रामलालचा 5r आहे असे मानूं.

∴9r + 10r + 5r = 24r = 576

∴ r = 24

∴ हसनने 24x9 = 216 रु.

नागेशने 24x10 = 240 रु.

व रामलालने 24x5 120 रु. याप्रमाणे खंड द्यायचा.

सरावासाठी पुढील उदाहरणे सोडवा.

(1) एका शेतात नांगरणी करताना जनूभाऊंचे 4 बैल 9 दिवस, शामरावाचे 6 बैल 10 दिवस व काशीनाथचे 7 बैल 4 दिवस आणले होते. त्यासाठी त्या तिघांना मिळून 620 रु. दिले तर प्रत्येकाला किती रुपये दिले?

(2) हिरालालने 7000 रु. भांडवल घालून दुकान उघडले. 4 महिन्यांनी पन्नालालनेही दुकानात 8000 रु. भांडवल घातले. वर्ष अखेरीस 7400 रु. फायदा झाला तो कसा वाटून घ्यावा?

चक्रवाढव्याज : पैसे कर्जाऊ देताना काही वेळा पहिल्या वर्षात मुद्दलाचे जर पैसे आणि त्यावरचे व्याज भरता आले नाही तर दुसया वर्षासाठी व्याज मोजताना पहिल्या वर्षाचे व्याजही कर्जाऊ दिले असे मानून नवे मुद्दल = पहिल्या वर्षाचे मुद्दल + पहिल्या वर्षाचे व्याज असे धरतात. व्याज मोजणीच्या या प्रकारास चक्रवाढव्याज म्हणतात. कारण अशा पद्धतीत दर वर्षी मुद्दलात व व्याजातही वाढ होत राहते. अशा प्रकारची गणितं कशी सोडवतात पहा.

उदा. 1 सुधाकरने 4000 रु. द.सा.द.शे. 10 रु. दराने चक्रवाढव्याजाने कर्जाऊ घेतले. तीन वर्षानंतर त्याने कर्जाची सर्व रक्कम व्याजासह परत केली त्यावेळी त्याला किती रुपये द्यावे लागेल?

व्याजाचा दर 100 रु. ना 10 रु. व्याज असा होता.

∴ पहिल्या वर्षी व व्याज दिले असेल तर गुणोत्तराच्या पद्धतीने

व/4000 = 10/100

∴व = 1/10 x 4000 = 400 रु.

दुस-या वर्षी मुद्दल 4000 + 400 = 4400 रु. धरायचे व दुसया वर्षाचे व्याज ज असेल तर

ज/4400 = 1/10

∴ ज = 4400/१० = 440 रु.

तिसया वर्षासाठी मुद्दल = 4400 + 440 = 4840

तिसऱ्या वर्षी व्याज ग मानले तर

ग/4840 = 1/10

∴ ग = 484

∴ तिसऱ्या वर्षा अखेर रास = 4840+ 484 = 5324

∴ तीन वर्षांच्या अखेरीस सुधाकरला 5324 रु. द्यावे लागले.

उदा. 2 स्वातीने 500 रुपये 2 वर्षासाठी द.सा.द.शे. 11 रु. दराने सरळ व्याजाने कर्जाऊ घेतले, तर ज्योतीने तेवढेच पैसे दोन वर्षांसाठी द.सा.द.शे. 10 रु. अशा चक्रवाढ व्याजाने घेतले. दोन वर्षाअखेर कर्ज फेडताना कुणाला जास्त पैसे द्यावे लागले? किती?

स्वातीने सरळ व्याजाने कर्ज घेतले- 100 रु. वर 2 वर्षात 22 रु. व्याज सरळव्याजाप्रमाणे होते.

∴ 500 रु. वर 2 वर्षात 22x5 = 110 रु. व्याज होते.

∴ रास 500 + 110 = 610 रु. झाली.

ज्योतीला पहिल्या वर्षी 5x10 = 50 रु. व्याज झाले.

दुसऱ्या वर्षासाठी 500 + 50 = 550 रु. मुद्दल धरायचे.

100 रु. वर 10 रु. व्याज व 550 रु. वर व व्याज मानूं

∴व/550 = 10/100

∴व = 550/10 = 55

∴ज्योतीला दुसऱ्या वर्षा अखेरीस 550+55 = 605 रु. रास द्यावी लागली.

∴स्वातीने 610-605 = 5 रु. जास्त दिले.

सरावासाठी पुढील उदाहरणे सोडवा.

(1) 400 रु. कर्जावर द.सा.द.शे. 12 रु. प्रमाणे 2 वर्षांचे चक्रवाढ व्याज कित्ती होईल?

(2) 500 रु. वर द.सा.द.शे. 17 रु. ने सरळव्याजाने, 2 वर्षांनी किती व्याज द्यावे लागेल? त्याच मुदलावर द.सा.द.शे. 16 रु. ने 2 वर्षात किती व्याज चक्रवाढव्याजाप्रमाणे होईल?

व्यस्त प्रमाण व मिश्र प्रमाण : आपण व्यस्त प्रमाणाची गणिते सोडवायला शिकलो आहोत. त्याच पद्धतीने सातवीचीही व्यस्त प्रमाणाची गणिते सोडवता येतात. लक्षात ठेवण्याचे सूत्र असे की, अनेकावरून एकाचा विचार करायचा व मग पुन्हा एकावरून अनेकांचा विचार उदाहरणार्थ पुढील गणिते पहा -

उदा.1. 5 मजूर रोज 6 तासांप्रमाणे काम करून 28 दिवसात काम संपवतात तर 7 मजूर रोज 8 तासाप्रमाणे काम करून तेच काम किती दिवसात संपवतील?

5 मजूर रोज 6 तासांप्रमाणे 28 दिवस घेतात तर

∴ 5 मजूर रोज 1 तासाप्रमाणे 28x6 दिवस घेतील

∴ 1 मजूर रोज 1 तासाप्रमाणे 28x6x5 दिवस येईल.

∴ 7 मजूर रोज 1 तासाप्रमाणे 28x6x5/7 दिवस घेतील

∴ 7 मजूर रोज 8 तासाप्रमाणे 28x6x5/7 x 8 दिवस घेतील

∴28x6x5/7 x 8 = 4x6x5/8 = 15 दिवस लागतील

हे गणित पायरी पायरीने कसे सोडवले आहे पहा आधी मजूर तेवढेच ठेवून रोज 1 तास काम केल्यास किती दिवस लागतील ते शोधले मग 1 मजूर 1 तास काम करत असेल तर लागणारे दिवस काढले इथे अनेकांवरून एकाचा विचार झाला. मग एका ऐवजी जेवढे मजूर लावायचे आहेत त्यांना लागणारे दिवस व मग त्याच मजूरांनी जास्त तास काम केल्यास लागणारे दिवस काढले.

उदा. 2 एक कामगार एका फेरीत 18 विटा नेतो. 22 कामगारांना काही विटा नेण्यास 40 फेऱ्या कराव्या लागल्या. एकूण 24 कामगार 

लावले व प्रत्येकाने एका फेरीत 20 विटा नेल्या तर तेवढ्या विटा नेण्यास किती फेऱ्या लागतील?

1 कामगार 1 फेरीत 18 विटा नेतो

∴ 22 कामगार 1 फेरीत 18x22 विटा नेतील

∴ 22 कामगार 40 फेरीत 18x22x40 विटा नेतील.

∴ नेण्याच्या एकूण विटा = 18x22x40

∴एका फेरीत 20 विटा नेल्यास एका कामगारास 18x22x40/20 फेऱ्या लागतील.

∴1 कामगारास 18x22x2 फेऱ्या लागतील

∴ 22 कामगारांस 18x22x2/22 = 18x2 फेऱ्या लागतील.

∴ 22 कामगारांना 36 फेऱ्या लागतील.

या गणितात किती विटा नेल्या हे स्पष्ट सांगितलेले नाही. पण ते सहज शोधता आले व त्यावरून प्रत्येक फेरीत 20 याप्रमाणे एकूण फेऱ्या व त्यावरून अधिक कामगारांच्या किती फेऱ्या लागतील ते चटकन् मिळाले.

यावरून लक्षात घ्या की मिश्रप्रमाणाची किंवा व्यस्त प्रमाणाची पणिते पायरी पायरीने सोडवणे व अनेकांवरून एकाची किंमत, एकावरून अनेकांची किंमत शोधणे या पद्धतीने लवकर सोडवून होतात व चुका होण्याची शक्यता कमी राहते. सरावासाठी खालील गणिते करा.

(1) प्रत्येक मुलीने रोज 12 कागद टाइप केले, तर 9 मुलींना संपूर्ण पुस्तक टाइप करायला 15 दिवस लागले. रोज 15 कागद टाइप करणाऱ्या 18 मुली टाइप करू लागल्या तर ते पुस्तक किती दिवसात टाइप करून होईल?

(2) एका हौदात पाणी भरण्यास 10 मजूर लावले. प्रत्येक मजूर तासाला 11 बादल्या पाणी भरतो. या मजुरांना हौद भरण्यास 7 तास लागले. प्रत्येक मजूर जर 14 बादल्या दर ताशी आणू लागला व 11 मजूर लावले तर किती तास हौद भरण्यास लागतील? 

“गणिताच्या सोप्या वाटा" साठी पुरवणी.

पाचवीसाठी उदाहरणसंग्रह.

1. खालील अपूर्णाकांच्या जोड्या तपासून कुठला अपूर्णांक मोठा आहे ते ठरवा व '<' किंवा '>' हे चिन्ह भरा.

(a) (5/6 , 2/3)

(b) (8/11 , 4/7)

(c) (3/8 , 2/7)

(d) (4/9 , 5/11)

2. खालील बेरजा व वजाबाक्या करा.

(a) 5/6 + 2/7  (b) 1/2 + 1/3

(c) 4/5 + 1/2  (d). 4 - 9/10

(e)2 + 1/3  (f) 2 - 1/3

3. a) पुढीलपैकी कोणत्या संख्यांना 3 ने पूर्ण भाग जातो?

41, 42, 60, 32, 72.

b) पुढीलपैकी कोणत्या संख्यांना 5 ने पूर्ण भाग जातो?

21, 40, 32, 65, 90, 123, 485, 2017.

c) पुढीलपैकी कोणत्या संख्यांना 2 ने भाग जातो?

12, 61, 43, 204, 1239, 4260.

4. पुढील अपूर्णांक दशांश अपूर्णाकांच्या रूपात लिहा.

3/10, 6/10, 32/10, 4/100, 72/100, 64/1000 ,8/1000

5. खालील भागाकार व गुणाकार चटकन करा.

a) 43.07 ÷ 10   b) 132.78 x 100

c) 59.8 ÷ 100  d) 602.5 x 100

e) 2.94 ÷ 100  f) 6.03 x 10

g) 4.716 ÷ 100  h) 5.89 x1000

6. खालील संख्यांचे म.सा.वि. काढा.

a) 40, 25.

b) 96, 24, 72.

c) 54, 90, 108

7. खालील संख्यांचे ल.सा.वि. काढा.

a) 24, 56

b) 25, 60

c) 18, 24, 54

8. खालील समीकरणे सोडवून अक्षरांच्या किमती काढा.

a) क + 8 = 25

b) 3ब -4 = 50

c) 5म + 3 = म + 87

9. नामदेवला दूध विकण्याबद्दल शेकडा आठ रुपये कमिशन मिळते. एका आठवड्यात त्याने 2100 रु. चे दूध विकले तर त्याला किती कमिशन मिळाले?

10. मीना कपडे शिवून पैसे मिळवते व तिच्या कमाईच्या शेकडा 40 रु. आईला घर खर्चासाठी देते. एका महिन्यात तिने प्रत्येकी 10 रु. प्रमाणे 25 ब्लाऊज शिवून पैसे मिळवले तर त्यातले किती आईला दिले?

सहावीसाठी उदाहरणसंग्रह.

1. शाळेतील लहान मुलांना चॉकोलेट वाटायची आहेत. 65 

मुलं असतील, तर 260 चॉकोलेट लागतात. 132 मुलांसाठी, त्याच प्रमाणात किती चॉकोलेट लागतील?

2. एका फळबागेत एकूण 1250 झाडे आहेत. त्यातील 60 टक्के आंब्याची, 20 टक्के जांभळाची झाडे आहेत व उरलेली नारळाची झाडे आहेत. तर नारळाची किती झाडे आहेत?

3 सुरेशने एक टी.व्ही. 2400 रु. ला विकत घेतला व तो 22% नफा घेऊन विकला तर विक्रीची किंमत किती?

4.मनोजला दरमहा 850 रु. पगार मिळतो व महेशला दरमहा 1200 रु. मिळतात. मनोज आईजवळ घरखर्चासाठी 510 रु. देतो व महेश 600 रु. देतो. पगाराच्या मानाने कोण घरखर्चासाठी जास्त पैसे देतो?

5. खालील अपूर्णांक दशांश अपूर्णांकांच्या रूपात लिहा.

2/5, 31/2, 3/4, 62/25, 23/4

6. खालील अपूर्णांक व्यवहारी अपूर्णांकांच्या रूपात लिहा.

23.5, 1.07, .84, 60.06

7. पन्नालाल व हिरालाल यांनी मिळून दुकान काढले. पन्नालालने 2500 रु. गुंतवले व हिरालालने 2000 रु. गुंतवले. महिनाअखेरीस 1800 रु. फायदा झाला तर तो कसा वाटावा?

8. दुधाच्यो डेअरीचे दुकान एका वर्षासाठी नागेश, रघुनाथ व मोहन यांनी चालवले. नागेश व रघुनाथ यांनी वर्षभरासाठी प्रत्येकी 1500 रु. व 1800 रु. गुंतवले. मोहनजवळ सुरुवातीस पैसे नव्हते पण त्याने तीन महिन्यानंतर 1600 रु. उरलेल्या वेळासाठी गुंतवले. वर्षअखेरीस 4200 रु. फायदा झाला. तो कसा वाटला जाईल?




9. एका फळविक्रेत्याने प्रत्येकी 100 रु. प्रमाणे 6 आंब्याच्या . पेट्या घेतल्या. प्रत्येक पेटीत चार डझन आंबे होते. ते आंबे 30 रु. डझन प्रमाणे विकले तर नफा किती टक्के झाला?

10. धर्मेंद्रने 250 रु.स एक याप्रमाणे एक डझन रेडिओ मुंबईहून खरेदी करून आणले. ते कोल्हापूरला आणण्यास रेल्वे खर्च 250 रु. व रिक्षा भाडे 50 रु. लागले. नंतर त्याने ते आपल्या दुकानात 350 रु. ना एक याप्रमाणे विकले तर नफा किती टक्के झाला?

11. एका दुकानदाराने 50 रु. एक याप्रमाणे 15 शर्ट विकत घेतले. त्यातील 12 शर्ट त्याने 70 रु. स एक याप्रमाणे विकले शेवटचे 3 शर्ट कमी किमतीत विकले. एकूण व्यवहारात त्याला शेकडा 30 रु. फायदा झाला तर उरलेले तीन शर्ट त्याने काय किमतीस विकले?

12. रोहिणीजवळ निळ्या, पिवळ्या व लाल रंगाचे मणी अनुक्रमे 240, 180 व 360 आहेत. तिला त्यांच्या, वेगवेगळ्या रंगांच्या माळा बनवायच्या आहेत. सर्व माळांत सारख्याच संख्येचे मणी हवेत. जास्तीत जास्त किती मणी प्रत्येक माळेत घालता येतील?

13. एका शाळेतील मुलांच्या प्रत्येकी 20 जणांच्या किंवा 25 जणांच्या किंवा 30 मुलांच्या रांगा केल्या, तर काहीच मुले उरत नाहीत. शाळेत कमीत कमी किती मुले असतील?

14. रघुनाथजवळ काही लिंबे आहेत. 10 लिंबांचे, 6 लिंबांचे किंवा 15 लिंबांचे असे ढीग केले तर प्रत्येक वेळी 3 लिंबे शिल्लक राहतात तर त्याच्याजवळ कमीत कमी किती लिंबे आहेत? 

15. मोहनजवळ 15 लिटर करडईचे तेल, 18 लिटर शेंगदाण्याचे तेल व 9 लिटर तिळाचे तेल आहे. त्याला प्रत्येक प्रकारचे तेल सारख्या आकाराच्या डब्यांत भरून विकायचे आहे. जास्तीत जास्त किती मापाच्या आकाराचे डबे आणता येतील? असे डबे एकूण किती लागतील?

16. पाच किलो तांदूळ सहा माणसांना 15 दिवस पुरतो. तर तो पाच माणसांना किती दिवस पुरेल?

17. चार माणसे काही विटा एक आठवड्यात तयार करतात त्याच्या तिप्पट विटा करण्यास सात माणसे लावली तर किती दिवस लागतील?

18. सुरेशने धंदा करण्यासाठी 1500 रु. कर्ज घेतले ते 2 वर्षांनी फेडताना एकूण 2100 रु. भरले तर व्याजाचा दर काय होता?

19. खालील गुणाकार करा.

i) (6a + 7b) x 8c

ii) (5m -n) x 4

iii) (2m - 9n) x 3m

20. खालील भागाकार करा.

i) (16a + 20b) ÷ 4

ii) (9mn + 12m) ÷ 3m

iit) (27a² + 108a) ÷ 9a

सातवीसाठी उदाहरणसंग्रह

सूचना :- सातवीच्या मुलांनी, अधिक चांगला सराव व्हावा म्हणून प्रथम पाचवी व सहावीचे उदाहरण संग्रह सोडवावे.

1. पुढील अपूर्णांकांना तीन दशांश स्थळांपर्यंत दशांश अपूर्णांकांचे रूप द्या.

7/25, 6/13, 52/25, 5/7, 14/11

2. तीन दशांश स्थळापर्यंत भागाकार करा.

25.4 ÷ 8,   4.02 ÷ 5,

83.27 ÷ 11  670.9 ÷ 7

3. खालील अपूर्णांकांचे आवर्ती रूप लिहा.

2/13, 4/7, 5/11

4. पुढील बहुपदींची बेरीज करा.

i) (m + 4n - 12) + (3m - 2n + 7)

ii) (5a + 2b + 8) + (3a,-6b - 13)

iii) (6a - 5b - 2) + (2a +7b - 8) + (b - 3a)

iv) (3m + 5n - 11) + (2m - 13n)

5. खालील गुणाकार करा.

(3u - 4v) (7u + 2v)

(6a + b - 8) (2a - 3b)

6. अपूर्णांकांच्या खालील पदावल्या सोडवा.

i) 3/8 - 1/5 + 1/4

ii) 7/9- (3/4 - 2/3)

iii) 40.52 + 23.08 - 36.95

iv) 5/6 + 1/5 - (3/10 - 4/5)

7. 8 माणसे एक भिंत तीन दिवसात बांधतात. तर 6 माणसांना तीच भिंत बांधण्यास किती दिवस लागतील?



8. 4 बैलांना 5 दिवसांसाठी 40 पेंड्या चारा लागतो. तर 7 बैलांना 7 दिवसात किती पेंड्या लागतील?

9. मधुकर व सुधाकर यांनी भागीदारीत वर्षभर दुकान चालवले. मधुकरने 5000 रु. भांडवल 10 महिन्यांसाठी घातले तर सुधाकरने 4000 रु. पूर्ण वर्षासाठी घातले. वर्षअखेरीस नफा 1960 रु.झाला. तो दोघांनी कसा वाटून घ्यावा?

10. गजाभाऊंनी दलालामार्फत एक ट्रॅॅॅॅॅक्टर 3 टक्के दलाली कबूल करून घेतला. ट्रॅॅॅॅॅक्टरची किंमत 7500 रु. असल्यास गजाभाऊंना एकूण खर्च किती आला?

11. मैनाताईंनी मालूताईंची खानावळ चालवायला घेतली व आलेल्या नफ्यातून 20 टक्के मालूताईंना देण्याचे ठरले. जर वर्ष अखेरीस मैनाताईंनी मालूताईंना 5400 रु. दिले, तर मैनाताईंना वर्षभरात किती नफा मिळाला?

12. सुरेशने धंद्यासाठी द. सा. द. शे. 12 रु. दराने चक्रवाढ व्याजाने 8000 रु. कर्ज काढले; दोन वर्षांनंतर कर्जफेड करताना त्याला एकूण किती रुपये भरावे लागले?

13. रघू, धर्मा व भिकू यांनी रसाचे गुऱ्हाळ चालवले. रघूने 4000 रु. भांडवल 6 महिन्यांसाठी, धर्माने 2000 रु. 8 महिन्यांसाठी व भिकूने 2000 रु. भांडवल वर्षभरासाठी घातले. वर्षअखेर 9600 रु. नफा झाला तर प्रत्येकाने किती नफा घ्यावा?

14. शेखर व महेश यांच्या वयांचे गुणोत्तर प्रमाण 9: 8 आहे व त्यांच्या वयांची बेरीज 85 आहे. तर त्यांची वये काढा?

15. दामोदरपंतांचे शेत नांगरण्यासाठी रामाचे दोन बैल चार 

दिवस, भीमाचा एक बैल सहा दिवस तर धर्माचे तीन बैल तीन दिवस वापरले. दामोदरपंतांनी त्यांना एकूण 460 रु. देण्याचे ठरवले तर प्रत्येकाला किती पैसे मिळावेत?

16. कविताचे वय आठ वर्षांनी दुप्पट होईल तर आज तिचे वय काय आहे?

17. सुधाचे वय सरोजपेक्षा चार वर्षांनी जास्त आहे. दोघींच्या वयांची बेरीज 52 आहे. तर प्रत्येकीचे वय काय?

18. गिरिजाच्या जन्माच्या वेळी तिची आजी 60 वर्षांची होती. आज दोघींच्या वयाची बेरीज 90 आहे तर आज गिरिजाचे वय काय?

19.लीलावतीजवळ जेवढे रुपये आहेत, त्याच्या दुप्पट अविनाशजवळ आहेत. दोघांचे मिळून 240 रु. आहेत तर अविनाशजवळ किती रुपये आहेत?

20. सुमतीची मोत्याची माळ तुटली व त्यातले मोती सांडून गेले. उरलेल्या 19 मोत्यांची तिने बांगडी बनवली तर आधी माळेत किती मोती होते?

------------------

भूमिति

 वेगवेगळ्या लांबीचे, पट्टीच्या सहाय्याने रेषाखंड काढणे किंवा कोन मापकाच्या मदतीने पाहिजे तेवढ्या मापाचा कोन काढणे हे तुम्हाला येते ना? किंवा दिलेल्या रेषाखंडाची लांबी देखील पट्टीने मोजता येते. कोन मापकाच्या मदतीने कोन मोजता येतो.

 एखाद्या वस्तूचे वजन आपण कसे मोजतो? मोठ्या वस्तूचे वजन किलोग्रॅम मधे, वेलदोडा, लवंगा यासारख्या लहान वस्तूचे वजन ग्रॅममध्ये असं मोजतो नाही का? आता लांबी मोजण्याचा सेंटिमीटर किंवा मीटर, वजन मोजण्याचा ग्रॅम किंवा किलोग्रॅम, कोन मोजण्याचा अंश ही वेगवेगळी परिमाणं आपल्याला ठाऊक आहेत. पण एकाद्या सपाट भागाचा आकार किंवा क्षेत्रफळ मोजायला. ही परिमाणं चालणार नाहीत. लांबी मोजण्यासाठी सोयीच्या लांबीचेच परिमाण म्हणजे सेंटिमीटर किंवा मीटरची लांबी लागते, वजन मोजण्यासाठी वजनाचेच परिमाण म्हणजे एक किलोग्रॅम किंवा ग्रॅमचे वजन लागते, कोन मोजण्यासाठी लहान, एक अंशाचा कोनच वापरला जातो, तसंच सपाट भागाचे क्षेत्रफळ मोजायला, लहान क्षेत्रफळाचाच तुकडा वापरायचा. आतां सोयीचा, लहान, कमी क्षेत्रफळाचा तुकडा कुठला बरं? एक सेंटिमीटर वाजू असलेला लहानसा चौरस हा परिमाण म्हणून वापरतात. आकृति मोठी असेल, एखाद्या शेताप्रमाणे, तर एक मीटर बाजू असलेला चौरस सोयीचा पडतो. चौरस म्हणजे सगळ्या बाजू सारख्या लांबीच्या व सगळे कोन ९०° किंवा काटकोन असलेला चौकोन.

एक चौ. सें.मी. = एक चौरस सेंटिमीटर चे परिमाण

 कुठलीही सपाट आकृति असेल तर तिचे क्षेत्रफळ चौरस सें.मी. च्या परिमाणाने मोजता येते. आतां ABCD हा काटकोन चौकोन व PQRS हा चौरस पहा. AB = 6c.m., BC = 2 c.m. व PQ = 4 c.m. आहे

म्हणून आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे ABCD मधे 12 चौ. सें.मी. व PORS मधे 16 चौ. सें.मी. व्यवस्थित बसतात. म्हणून ABCD चे क्षेत्रफळ 12 चौ. सें.मी. व PQRS चे क्षेत्रफळ 16 चौ. सें.मी. आहे. काटकोन चौकोन किंवा चौरस आकृतींचे क्षेत्रफळ मोजणे सोपे असते. काटकोन चौकोनाची लांबी x रुंदी = क्षेत्रफळ हा नियम लक्षात ठेवा. मात्र लांबी व रूंदी मोजायला सें.मी. हे परिमाण असेल, तर क्षेत्रफळ चौ. सें.मी. मधे मिळेल. लांबी व रूंदी मीटर मधे मोजली असेल, तर क्षेत्रफळ वरील गुणाकाराने 'चौरस मीटर'




मधे मिळेल. चौरसाची लांबी व रूंदी सारखीच असते म्हणून क्षेत्रफळ = बाजूच्या लांबीचा वर्ग. आतां लक्षात राहील ना?

 दोरीच्या लांबीत जेवढे सें.मी. मावतात, तेवढी तिची सें.मी. मधे लांबी, संत्र्याच्या वजनाची बरोबरी करायला जेवढे ग्रॅम लागतात, तेवढे त्याचे वजन.

 तसेच, वहीच्या कागदावर जेवढे चौरस सें.मी. बसतात, तेवढे त्याचे क्षेत्रफळ.

 काटकोन चौकोनाचे क्षेत्रफळ = लांबी x रुंदी

काटकोन चौकोनाची लांबी दुप्पट केली, तर क्षेत्रफळ दुप्पट होईल. रूंदी दुप्पट केली तरी क्षेत्रफळ दुप्पट होईल. चौरसाची वाजू दुप्पट केली, तर सगळ्याच बाजू दुप्पट होणार व क्षेत्रफळ चौपट होईल.

वरील तीन आकृत्यांमध्ये हे स्पष्ट केले आहे.

2 सें.मी. x 4 सें. मी. चा काटकोन चौकोन,

2 सें.मी. x 8 सें. मी. चा काटकोन चौकोन,

4 सें.मी. x 4 सें.मी. चा चौरस

व 2 सें.मी. x 2 सें.मी. चा चौरस यांची क्षेत्रफळे. चौरस सें.मी मधे मोजून पहा.

त्रिकोणाच्या आकाराचे, किंवा दुसऱ्या सरळ बाजूंच्या 

बहुभुजाकृतींचे क्षेत्रफळ मोजणे थोडे अवघड, तरी तुम्हाला जमण्याजोगे असते. यासाठी आणखी एक नियम लक्षात ठेवा : त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 पाया x उंची

तुम्हाला हे पटते का? खालील आकृतीवरून ते स्पष्ट होईल.

 ABC या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजायचे आहे. त्यासाठी AP ही लंबरेषा काढली. मग BPAS व APCR हे काटकोन चौकोन पुरे केले. काटकोन चौकोनाचे क्षेत्रफळ तर आपल्याला मोजता येते. मग BPAS चे क्षेत्रफळ = BP x AP आणि APCR चे क्षेत्रफळ = PC X AP

 मग दोन्ही काटकोन चौकोनांचे मिळून किंवा SBCR या मोठ्या काटकोन चौकोनाचे क्षेत्रफळ = BP X AP + PC X AP

= (BP + PC) X AP = BC X AP

हे लक्षात आले का, की Δ ABP व Δ APC मिळून Δ ABC बनतो.

Δ ABP = 1/2 काटकोन चौकोन BPAS

Δ APC = 1/2 काटकोन चौकोन APCR

∴ Δ ABC = Δ ABP + Δ APC

= 1/2[BPAS + APCR]

= 1/2BC X AP



=1/2पाया x उंची

या ठिकाणी आपण हा नियम भूमितीच्या मदतीने, आकृती काढून व काटकोन चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचा नियम वापरून सिद्ध केला आहे. वरील आकृतीमध्ये BC = पाया = 6 सें.मी., AP = उंची = 3 सें.मी. आहे.

∴ Δ ABC चे क्षेत्रफळ = 1/2 6 x 3 चौ. सें.मी.

= 9 चौ. सें.मी. आहे.

 आणखी एक गोष्ट लक्षात ठेवा की त्रिकोण कसाही फिरवला, तरी त्याचे क्षेत्रफळ बदलत नाही. म्हणजेच BC ऐवजी AC हा पाया घेतला व B मधून AC वर M लंब रेषा टाकून उंची मोजली,

तरी क्षेत्रफळ = 1/2AC x BM म्हणजे 1/2 BC x AP एवढेच राहील.

∴ 1/2 AC x BM = 1/2 BC x AP

आता सगळ्या बाजू सरळ रेषेत असलेल्या बहुभुजाकृतीचे क्षेत्रफळ कसे काढाल बरे? ।

उदाहरणासाठी वरील षट्कोन पहा. ABCDEF हा षट्कोन आहे. त्याचे ABC, ACD, ADE व AEF असे भाग पाडले तर या सर्व त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ काढून त्यांची बेरीज केली, की। षट्कोनाचे क्षेत्रफळ मिळेल होय ना?  वर्तुळाचे क्षेत्रफळ काढणें मात्र जरा अवघड आहे. कारण वर्तुळाचे भाग त्रिकोणांत पाडता येत नाहीत. तरी वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचाही नियम आहे. तो तुम्ही सिद्ध करू शकणार नाही. परंतु तो लक्षात ठेवून त्याप्रमाणे दिलेल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ तुम्ही काढू शकाल.

समजा आपल्याजवळ r त्रिज्या असलेलं वर्तुळ आहे. मग त्याचे क्षेत्रफळ हे π r² एवढ असतं. π हे ग्रीक अक्षर आहे व त्याचा उच्चार 'पाय' असा करायचा. π ची किंमत अगदी तंतोतंत अशी व्यवहारी अपूर्णाकात लिहिता येत नाही. पण ती किंमत 22/7 च्या खूप जवळ आहे म्हणून गणिते सोडवताना π = 22/7 घेतात. मग वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = 22/7 x r² एवढे होते. उदाहरणार्थ 3 सें. मी. त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ 22 x 9/7 चौ. सें.मी. = 198/7 चौ. सें.मी. = 28 2/7 चौ. सें.मी.

7 सें.मी. त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

= 22/7 x 7 × 7 चौ. सें.मी.

= 154 चौ. सें.मी.

 आतां वर्तुळ, त्रिकोण, चौकोन, इतर बहुभुजाकृती यांचे क्षेत्रफळ तुम्हाला काढता येते. या आकृत्यांचे परीघ तुम्हाला मोजता येतात का?

 वर ABC हा त्रिकोण, PQRS हा चौकोन दिला आहे. Δ ABC चा परीघ हा 5 सें.मी. + 4 सें.मी. + 3 सें.मी. = 12 सें.मी. आहे. PQRS चा परीघ हा 5 सें.मी. + 4 सें.मी. + 6 सें.मी. + 3 से.मी. = 18 सें.मी. एवढा आहे.

लक्षात ठेवा की परीघ ही एक प्रकारची लांबी आहे. बहुभुजाकृती भोवती, चिकटून, एखादी दोरी गुंडाळली, तर त्या दोरीची लांबी ही बरोबर परीघाएवढी होते. वर्तुळाचा परीघ कसा मोजाल? तर त्याचाही नियम आहे, सूत्र आहे.

समजा r सें.मी. त्रिज्या असलेलं वर्तुळ आहे. मग त्याचा परीघ 2π x r = 2 x 22/7 x r सें.मी. एवढा असतो.

उदाहरणार्थ 3 सें.मी. त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाचा परीघ 2 x 22/7 x 3 सें.मी. = 132/7 सें.मी. = 186/7 सें.मी. एवढा असतो.

पुन्हा लक्षात ठेवा की एकाद्या आकृतीचा परीघ ही लांबीची बेरीज 

असते. म्हणजे एक प्रकारची लांबीच असते. ती सें.मी. किंवा मीटर किंवा किलोमीटर यामधे मोजली जाते तर क्षेत्रफळ हे चौ.सें.मी. किंवा चौ. मी. यामधे मोजलं जातं.

 त्रिकोण, वर्तुळ व बहुभुजाकृती यांच्या संबंधीची पुढील सूत्रे नीट लक्षात ठेवा.

काटकोन चौकोनाचे क्षेत्रफळ = लांबी x रुंदी

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 पाया x उंची

त्रिकोणाच्या तीनही कोनांची वेरीज = 180° = दोन काटकोन

n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या कोनांची बेरीज

= [180 x (n-2)]°

= (2n -4) काटकोन.

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π x (त्रिज्या)

वर्तुळाचा परीघ = 2π x (त्रिज्या)

समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2 x (समांतर वाजूंची बेरीज) x लंबांतर

ABC काटकोन त्रिकोणात AB हा कर्ण असेल, तर AB² = BC² + AC²

वर दिलेल्या सूत्रांपैकी शेवटचे सूत्र ‘पायथागोरसचे आहे.

तो नियम पुढीलप्रमाणेही लिहितात. ABC या काटकोन त्रिकोणात AB = c, BC = a व CA = b अशा भुजा आहेत व AB = c हा कर्ण आहे असे मानले तर

c² = a² + b² हा पायथागोरसचा सिद्धांत आहे. तो सिद्ध करणे अवघड नाही. अनेक प्रकारांनी तो सिद्ध करता येतो. आपण एका सोप्या व आकृतीवरून चटकन समजणाऱ्या पद्धतीने तो सिद्ध करूं.

समजा काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी c व इतर दोन भुजांची लांबी a आणि b अशी आहे. मग एकमेकांशी काटकोन करणाऱ्या भुजांची लांबी a आणि b असेल, तर त्या त्रिकोणाची तिसरी भुजा c असेल व ती काटकोनाच्या समोर असल्यामुळे तीच 'कर्ण' असेल. आता एक चौरस a + b एवढी बाज असलेला काढा. त्याचे शिरोबिंदू A, B, C, D असे ठेवा.

नंतर चौरसाच्या चारही भुजांवर P.Q, R, S असे बिंदू AB, BC, CD, DA वर अनुक्रमे घ्या की AP = a, PB = b, BQ = a, Qc = b, CR = a, RD = b, DS = a, SA = b आकृति पहा.

आतां PQRS हा, चौकोन पुरा करा. ∠A, ∠B, ∠C, ∠D हे सर्व काटकोन आहेत.

म्हणून APS, BQP, CRQ व DSR हे काटकोन त्रिकोण आहेत. हे सगळे एकरूपही आहेत कारण त्यांच्या भुजा समान आहेत. म्हणून त्या सर्वांचे कर्ण 'C' आहेत. आता आकृतीवरून पहा की चौरस ABCD चे क्षेत्रफळ

= ΔAPS + ΔBQP + ΔCRQ + ΔDSR + चौकोन PQRS चे क्षेत्रफळ शिवाय PORS या चौकोनाच्या सगळ्या भुजा c एवढ्या, सगळे कोनही काटकोन आहेत. कारण प्रत्येक कोन = 180° -(∠APS + ∠PSA) एवढा आहे. व सर्वांची बेरीज मिळून चार काटकोनाएवढी आहे. म्हणून प्रत्येक कोन काटकोन आहे.

∴ PQRS हा चौरस आहे व त्याचे क्षेत्रफळ c x c = c²' एवढे आहे.

Δ APS = Δ BQP = Δ CRQ = Δ ADSR = 1/2 a x b आणि ABCD या चौरसाचे क्षेत्रफळ = (a + b)² = a + 2ab + b² ∴a² + 2ab + b² = 4 × 1/2 a x b + c²

∴a² + b² + 2ab = c² + 2ab

∴ a² + b² = c²

भौमितिक आकृत्या.

अनेकदा दिलेल्या मोजमापांवरून त्रिकोण किंवा चौकोन काढायचा असतो. पट्टी, कंपास इत्यादी साहित्य वापरायचे असते. ती रचना कशी करावी हे निश्चित करण्यासाठी प्रथम अंदाजाने फक्त पेन्सिल वापरून लहानशी आकृति काढून पहावी. मग दिलेली माहिती आकृतीत भरावी व तिचा उपयोग करून कंपास व पट्टी यांनी खरी आकृति कशी काढावी ते ठरवा. आधी कच्ची आकृति काढली तर खूप सोपे होते.

उदा. 1 दोन बाजू व त्या बाजूंमधे समाविष्ट केलेला कोन दिला असता त्रिकोण काढणे.

समजा की AB ही बाजू AC ही बाजू व ∠ CAB दिलेला आहे. मग A हा बिंदू काढून A जवळ ∠CAB एवढा कोन करणारया दोन जरा मोठ्या रेषा काढा. दोन्ही रेषा AB व AC पेक्षा मोठ्या असू द्या. मग B आणि C बिंदू या दोन रेषांवर निश्चित करायचे. 

AB ही दिलेली लांबी कंपासमध्ये घेऊन A वर कंपासचे टोक ठेवून एका रेषेवर AB एवढ्या अंतरावर कंस काढा व दुसऱ्या रेषेवर AC एवढ्या अंतरावर कंस काढा. मग त्या दोन्ही रेषांवर B आणि C हे बिंदू मिळतील. आता ABC हा त्रिकोण दिलेल्या मापांप्रमाणे आहे.

उदा. चार बाजू व एक कोन दिला असता चौकोन काढणे

समजा, ABCD या चौकोनात चारही बाजू व ∠ A दिला आहे. मग ABD या त्रिकोणात AB, AD व ∠ A दिला आहे व Δ ABD काढणे प्रथम शक्य आहे. त्यावरून A, B, D हे बिंदू निश्चित होऊन BD हा कर्णही मिळतो. मग BCD या त्रिकोणाच्या तीनही वाजू माहीत आहेत व B, D हे बिंदूही आहेत. आता कंपासमध्ये BC एवढे अंतर घेऊन, B वर कंपासचे टोक ठेवून मोठा कंस काढा व पुन्हा कंपासमधे CD एवढे अंतर घेऊन D वर टोक ठेवून दुसरा कंस पहिल्या कंसास छेदेल असा काढा. दोन्ही कंसांचा छेदबिंदू हाच c असेल. कारण BC, CD हे दिलेल्या लांबीचे असतील.

घनफळ

क्षेत्रफळ मोजण्यासाठी आपण क्षेत्रफळाचेच लहानसे, सोयीचे परिमाण, एक चौरस सें.मी. वापरतो तसेच एखाद्या वस्तूचे घनफळ मोजताना एक घन सें.मी. चे परिमाण वापरतो. एक सें.मी. बाजू असलेला धन घेतला, तर त्याचे घनफळ एक घन सें.मी. असते. एखाद्या ठोकळ्याची लांबी a सें.मी., रूंदी b सें.मी. व उंची h सें.मी. असेल तर त्यात a x b x h एवढे एक सें.मी. चे ठोकळे मावतील म्हणून त्या ठोकळ्यांचे घनफळ हे a x b x h धन सें.मी. होईल.

आकृतीतील ठोकळ्याची लांबी 4 सें.मी., रूंदी 2 सें.मी. व उंची 3 सें.मी. आहे. तिचे घनफळ 4 x 2 x 3 = 24 घन सें.मी. आहे. ठोकळ्याच्या घनफळाकडे आणखी एका प्रकाराने पहाता येईल. त्याचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ x उंची असेही आहे.

एखाद्या चितीचे घनफळ याच नियमाने काढतात. चिती म्हणजे सपाट पृष्ठभागावर उभी राहू शकेल अशी, तळापासून वरच्या पृष्ठभागापर्यंत एकाच आकाराचा छेद असणारी आकृती.

 वरील सर्व आकृत्या वेगवेगळ्या चितीच आहेत.

घनाकृति ठोकळे व चिती यांची घनफळे काढायला सोपी असतात तशी इतर घनाकृतींची नसतात.

अकरावी बारावीच्या वर्गात तुम्ही गणिताचा अभ्यास केलात, तर Calculus किंवा कलनशास्त्राच्या मदतीने आणखी काही घनाकृतींचे घनफळ व अनेक सपाट आकृतींचे क्षेत्रफळ तुम्ही काढू शकाल.

------------------



मुलांसाठी संग्राह्य पुस्तके

८ वी ९ वी १० वी च्या अभ्यासक्रमावर आधारित

मनोविकास इंग्रजी व्याकरण

ले. आत्माराम शेट्ये

हसत खेळत अभ्यास सहज परीक्षा पास

डॉ. श्रीकांत जोशी

चौदा भारतीय रत्ने

विट्ठलराय भट

थोरांचे विचार

अरूण भालेकर

वैज्ञानिकांच्या नवलकथा

रमेश सहस्त्रबुद्धे

मुलांसाठी छान छान गोष्टी

सुनंदा देशपांडे दातार

निसर्गाची भानामती

डॉ. हेमंत विंझे

-------------------

किंमत - दहा रुपये