गणिताच्या सोप्या वाटा/गुणोत्तर प्रमाण(2)

गुणोत्तर प्रमाण, भागीदारी, सरळ व्याज इत्यादि.

आपण गुणोत्तर प्रमाणाचा उपयोग करून अनेक प्रकारची गणिते करायला शिकलो. पण त्यावेळी दोनच संख्यांचे गुणोत्तर विचारात घेत होतो. दोनाहून अधिक, तीन किंवा जास्त संख्याही विशिष्ट गुणोत्तर प्रमाणात असू शकतात. उदा. रमेश, मीना व आनंद यांचे गुण 3:4:5 या प्रमाणात आहेत याचा अर्थ रमेश व मीना यांचे गुण 3:4 या प्रमाणात व मीना व आनंद यांचे गुण 4:5 या प्रमाणात आहेत असा आहे. म्हणजेच रमेशचे गुण 3x असले तर मीनाचे 4x व आनंदचे 5x आहेत. इथे x ही संख्या प्रथम माहित नसते. पण ती शून्य नसते आणि गणितात दिलेल्या इतर माहितीवरून ती शोधता येते. x = 10 असेल तर रमेश, मीना व आनंद यांचे गुण 30, 40, 50 असे येतात तर x = 12 असेल, तर त्यांचे गुण 36, 48, 60 असे येतील. गुणोत्तर मात्र 3:4:5 असेच आहे. या पद्धतीची गणितं कशी सोडवायची ते पहा.

उदा. 1 शेळी, गाय व घोडा यांचा खर्च 1:5:7 या प्रमाणात आहे. या तीनही जनावरांचा खर्च मिळून दरमहा 910 रु. असेल, तर गायीचा दरमहा खर्च किती? शेळी, गाय व घोडा यांचे खर्च 1:5:7 या प्रमाणात आहेत. म्हणून शेळीचा खर्च 1k = k, गायीचा 5k व घोड्याचा 7k आहे असे मानू. मग k+ 5k + 7k = 13k = 910 रु.

∴ (13 ने भागून) k = 70 रु.

आता गायीचा खर्च 5k = 350 रु. आहे हे उत्तर.

उदा. 2 एका वर्गातील मुलगे व मुली यांचे गुणोत्तर 5:3 असे आहे. 

मुलग्यांची संख्या 8 ने जास्त आहे तर किती मुलगे व किती मुली आहेत?

मुलगे : मुली = 5:3

∴ मुलग्यांच्या संख्या 5a व मुलींची 3a मानू.

मग मुलग्यांची संख्या ही 2a ने जास्त आहे.

∴ 2a = 8

∴a = 4

∴ मुलग्यांची संख्या 5x4 = 20

व मुलींची संख्या 3x4 = 12 असे उत्तर मिळते.

उदा. 3 एक दुकान उघडताना सोहन, मोहन व रोहन यांनी अनुक्रमे 2000, 3000 व 5000 रु. भांडवल घातले. पहिल्या वर्षी 3200 रु. फायदा झाला तर प्रत्येकाला किती रु. नफा मिळाला?

ज्या प्रमाणात भांडवल, त्या प्रमाणातच नफा किंवा तोटा होणार : आता सोहन, मोहन व रोहन यांच्या भांडवलाचे गुणोत्तर 2000:3000:5000 म्हणजेच 2:3:5 असे आहे. (तीनही संख्यांना एकाच संख्येने (म्हणजे इथे 1000 ने भागले), तर गुणोत्तर तेच राहते).

∴सोहनचा नफा 2p

मोहनचा नफा 3p

व रोहनचा नफा 5p असे मानूं. मग

2p + 3p + 5p = 10p = 3200

∴p = 320

∴ सोहनचा नफा = 640 रु., मोहनचा नफा = 960 रु., रोहनचा नफा = 1600 रु.

उदा. 4 अच्युत, केशव व नारायण यांनी अनुक्रमे 2500, 3000 व 4000 असे भांडवल घालून वर्तमानपत्रे व मासिके यांचे दुकान उघडले. अच्युतने दुकान चालवले म्हणून त्याला दरमहा 300 रु. नफ्यातून द्यायचे आहेत. पहिल्या महिन्यात 1250 रु. नफा झाला तर तो तिघांनी कसा वाटून घ्यावा?

प्रथम 300 रु. पगार अच्युतला दिला की उरलेला नफा येतो 1250-300 = 950 रु. आता या नफ्याची वाटणी भांडवलाच्या प्रमाणात करायची. अच्युत, केशव व नारायण यांचे भांडवल 25:30:40 किंवा 5:6:8 या प्रमाणात आहे.

∴अच्युतचा नफा = 5p

केशवचा नफा = 6p

नारायणचा नफा = 8p असे मानू.

∴ 5p + 6p + 8p = 19p = 950

P=50 रु.

∴ अच्युतचा नफा = 250 रु.

केशवचा नफा = 300 रु.

नारायणचा नफा = 400 रु.

शिवाय अच्युतचा पगार 300 रु.

∴अच्युत केशव व नारायण यांनी अनुक्रमे (250+300), 300 व 400 रु. घ्यावेत.

सरावासाठी खालील उदाहरणे सोडवा.

(1) राम व शाम यांच्याकडे 8:5 या प्रमाणात रुपये आहेत. रामजवळ शामपेक्षा 84 रु. जास्त असले, तर प्रत्येकाजवळ किती रुपये आहेत?

(2) माया, जया व सोनियां यांनी मिळून खेळण्यांचे दुकान काढले. त्यांचे भांडवल अनुक्रमे 3500, 2000, व 2500 रु. आहे. दुकान . सोनियाच्या घरात असल्यामुळे दरमहा नफ्यांतून तिला 200 रु. द्यायचे आहेत. पहिल्या महिन्यात 2600 रु. नफा झाला तर तो माया, जया व सोनिया यांनी कसा वाटून घ्यावा.