गणिताच्या सोप्या वाटा/समीकरण

समीकरण

समीकरण म्हणजे दोन पदांची सारखीच किंमत आहे हे दाखवणं. समीकरण हे दोन्ही बाजूंना सारखेच वजन ठेवलेल्या व्यवस्थित तोलून, आडव्या स्थितीत राहिलेल्या सी सॉ सारखे असते.

अशी कल्पना करा की सी सॉ च्या दोन्ही बाजूंना दोन सारख्या वजनाचे भांडखोर जुळे भाऊ आहेत. एका बाजूच्या भावाला काही दिलं तर दुसया बाजूच्या भावालाही तेवढंच द्यावं लागतं नाही तर त्यांचे भांडण होऊन सी सॉ वाकडा होईल. म्हणजे, समीकरणाच्या डाव्या बाजूवर जी क्रिया करायची, तीच उजव्या बाजूवरही करावी लागते तरच समीकरण बरोबर राहतं. हे समीकरण पहा :

4² - 6 = 5 x 2.

यात डाव्या बाजूची किंमत 4² - 6 = 16 - 6 = 10

तसंच उजव्या बाजूची किंमत 5 x 2 = 10

म्हणजे डाव्या व उजव्या दोन्ही बाजूंची किंमत सारखीच आहे व हे समीकरण बरोबर आहे. आता डाव्या बाजूमध्ये 5 ही संख्या मिळवली, तर उजव्या बाजूचा जुळा भाऊ भांडेल व उजव्या बाजूलाही 5 ही संख्या मिळवावी लागेल. मग ते समीकरण असं होईल

4² - 6 + 5 = 5 x 2 + 5

पुन्हा एकदा नीट लक्षात घ्या की समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंवर सारखीच गणिती क्रिया केली, तरच नव्याने मिळालेलं समीकरण बरोबर असतं. या नियमाचा उपयोग करून, छोटी छोटी, अक्षरांची समीकरणं सोडवायला शिका.

उदा० 5म - 4 = 16, तर म ची किंमत काय ?

ज्या अक्षराची किंमत काढायची, त्या अक्षराची पदं डाव्या बाजूला ठेवून इतर पदं दुसया बाजूला न्यायची किंवा त्यात इतर पदांच्या विरूद्ध चिन्हांची पदं दोन्ही बाजूंमध्ये मिळवायची.

जसे 5म - 4 = 16 यात डाव्या बाजूला 4 मिळवले की फक्त म चे पद राहील पण मग उजव्या बाजूलाही 4 मिळवायला हवेत

∴ 5म - 4 + 4 = 16 + 4

∴ 5म = 20

∴ म = 4 (दोनही बाजूंना 5 ने भागले).

दुस-या प्रकारानेही हे लक्षात ठेवता येईल. समजा डाव्या बाजूला फक्त ‘म’ चे पद ठेवायचे आहे. मग 5म - 4 = 16 यातील - 4 हे पद उजव्या बाजूला नेताना त्याचे चिन्ह बदलून + 4 हे उजव्या बाजूला येईल ∴ 4म = 16 + 4    (दोन्ही बाजूंमध्ये 4 मिळवून

∴5म = 20     हेच समीकरण मिळते)

∴ म = 4

समीकरणाच्या एका बाजूला असलेलं पद नष्ट करायचे असेल तर दोन्ही बाजूंना त्याच्या विरूद्ध चिन्हाचं तेवढंच पद जोडायचं. जसे इथे - 4 हे डाव्या बाजूचे पद 4 मिळवल्यावर नष्ट झाले पण उजव्या बाजूमध्ये 4 ची भर पडली. म्हणून असंही म्हणता येईल की 5म - 4 = 16 यातील - 4 हे डाव्या बाजूचे पद उजव्या बाजूला आणून 5म = 16 + 4 हे समीकरण मिळालं. म्हणजे डाव्या बाजूचे पद चिन्ह बदलून उजव्या बाजूकडे झालं. पुन्हा लक्षात घ्या की एका बाजूचे पद समीकरणाच्या दुस-या बाजूला नेताना त्याचे चिन्ह बदलावे लागते तरच ते समीकरण बरोबर राहते.

अशा समीकरणांची उत्तरं बरोबर आहेत की नाही याची तपासणी किंवा ताळा करणे सोपे असते व ते जरूर करा.

जसे --- म = 4 असेल तर मूळ समीकरण 5 x 4 - 4 = 16 असं होतं व यात दोन्ही बाजूंची किंमत 16 असल्यामुळे ते बरोबर आहे म्हणून म = 4 हे उत्तर बरोबर असले पाहिजे.

तेव्हा समीकरण सोडवून अक्षराची जी किंमत येते ती वापरून मूळ समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंची किंमत सारखी आहे ना हेच तपासून पहायचं असतं.

आणखी एक समीकरण सोडवू या.

उदा० खालील समीकरणावरून 'अ' ची किंमत काढा -

6अ - 13 = 15 + 4अ.

आता सगळी अ ची पदे डाव्या बाजूला व संख्या उजव्या बाजूला नेऊ.

∴ 6अ - 4अ = 15 + 13    (+4अ डावीकडे



∴ 2अ = 28    नेताना -4अ व -13

      उजवीकडे नेताना +13 झाले.)

∴ अ = 14    (दोन्ही बाजूंना 2 ने भागले).

दोन्ही बाजूंवर सारख्या गणीती क्रिया करत हेच गणित असेही सोडवू शकाल -

6अ- 13 + 13 = 15 + 4अ + 13   (दोन्ही बाजूंमध्ये

       13 मिळवले)

∴6अ-4अ = 28 + 4अ- 4अ   (दोन्ही बाजूंमधून 4अ

       वजा केले)

∴2अ = 28

∴अ = 14    (दोन्ही बाजूंना 2 ने भागले),

आता अ = 14 ही किंमत घेऊन समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंची किंमत काढू.

डावी बाजू = 6 - 13 = 84 - 13 = 71

उजवी बाजू = 15 + 4अ = 15 + 56 = 71

दोन्ही बाजूंची किंमत सारखी आली.∴ अ = 14 हे उत्तर = असले पाहिजे.

सरावासाठी पुढील समीकरणे सोडवून त्यातील अक्षरांच्या किंमती काढा -

1) 7क + 15 = 4क + 27

(2) 14अ - 7 = 16 - 9अ

(3) 5म + 23 = 9म - 17

(4) 8क - 13 = 3क + 6

(5) 16 - 3क्ष = 4क्ष + 58

काढलेली किंमत वापरून समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंच्या किं सारख्या येतात ना ते पहा.