सात पूल आणि दोरीची गाठ
२. सात पूल आणि दोरीची गाठ
संपादनखालील आकृती पेन्सिलीने गिरवता येईल काय? मात्र पेन्सिल एकदा त्या आकृतीवर टेकवली की उचलायची नाही आणि कुठलीही रेषा दोनदा गिरवायची नाही अशी अट. लेखांक १ मध्ये हा प्रश्न विचारला होता.
या प्रश्नाचे उत्तर असं आहे की, अशा तऱ्हेने ही आकृती गिरवणे शक्य नाही! तुम्ही देखील अनेक प्रयत्न करून हाच निष्कर्ष काढला ना?
हे विधान गणिताने सिद्ध करता येतं - पण ते प्रमेय अवघड आहे. मात्र त्यामागचा इतिहास मनोरंजक आहे. तो असा :
कोनिग्सबर्गचे सात पूल :
संपादनयुरोपच्या नव्हे, पण गणिताच्या इतिहासात गाजलेलं एक लहानसं गाव 'कोनिग्सबर्ग. तिथे नदी होती आणि तिच्यावर सात पूल होते. हे पूल त्या नदीतल्या दोन बेटांना आणि दोन्ही तीरांना एकमेकांशी जोडत होते. त्यांची रचना चित्र क्रमांक २ मध्ये दाखवली आहे.
ह्या सर्व पुलांवरून एका आणि फक्त एकदाच चालत जाता येईल काय? अनेकांनी प्रयल केला, पण त्यांना ते जमलं नाही. मग ही गोष्ट अंशक्य समजावी का? कोनिग्सबर्गला भेट देणा-या अनेक विद्वानांना हा प्रश्न विचारून गावकरी दमले, अखेर त्या प्रश्नाचं समाधानकारक उत्तर ऑयलर नावाच्या प्रख्यात गणितज्ञाने दिलं. हे उत्तर शोधायला ऑयलरलासुद्धा पुष्कळ डोकं खाजवावं लागलं. पण शेवटी त्याने शोधून काढलेला नियम कोनिग्सबर्गच्या सात पुलांनाच लागू होत नव्हता, तर त्याशिवाय इतरही अनेक प्रश्नांची उत्तरं देऊ शकत होता. उदाहरणार्थ चित्र क्र. १ मधल्या आकृतीलाही तो लागू पडत होता.
कोनिग्सबर्गच्या गावक-यांना ऑयलरने काय उत्तर दिलं?
ऑयलरचा नियम
प्रथम आपण ऑयलरचा नियम समजावून घेऊ. चित्र क्र. १ मधल्या आकृतीत काही बिंदू असे आहेत जिथे अनेक रेषा येऊन मिळतात. अशा बिंदूंना आपण 'ठिकाण' म्हणू आणि दोन ठिकाणांना जोडणा-या रेषांना 'पूल' म्हणू. चित्रात दाखवल्याप्रमाणे चार ठिकाणे (आकृतीतल्या ४ टोकांना) अशी आहेत, जिथून प्रत्येकी तीन पूल सुरू होतात आणि एक ठिकाण असं आहे (मध्यावर) जिथून चार पूल निघतात. पेन्सिलीने आकृती गिरवणे आणि पुलावरून पायी जाणे ही सारखीच क्रिया आहे हे ह्या प्रश्नांच्या संदर्भात तुमच्या लक्षात आलं असेलच, त्याचप्रमाणे 'ठिकाण' हे चित्र क्र. १ प्रमाणे बिंदुवत असलं काय किंवा चित्र क्र. २ मधल्या बेटांप्रमाणे (आणि तीरांप्रमाणे) पसरलेलं असलं काय, याचा ह्या प्रश्नांच्या उत्तराशी संबंध येत नाही. मात्र दोन्ही आकृत्यांत
ठिकाणांची आणि पुलांची रचना वेगळी आहे. आता ऑयलरचा नियम असा :
कुठल्याही आकृतीत अशी किती ठिकाणं आहेत जिथून विषम संख्येने (म्हणजे २ ने नि:शेष भाग न जाणा-या संख्येने) पूल निघतात, याची नोंद करा. जर ती संख्या २ पेक्षा जास्त असेल तर ती आकृती गिरवणं (दिलेल्या नियमाप्रमाणे) शक्य नाही. जर ती संख्या २ असेल तर हे शक्य आहे, मात्र गिरवण्याला सुरवात अशा ठिकाणापासून केली पाहिजे, जिथून विषम संख्येने पूल निघतात, जर ही संख्या २ पेक्षा कमी असेल तर ही आकृती कुठूनही सुरू केल्यास गिरवता येईल. आता हा नियम वापरूया. आपण नुकतंच पाहिलं की चित्र क्र. १ मधल्या आकृतीत अशी चार ठिकाणं आहेत जिथून तीन (म्हणजे विषम संख्येने) पूल निघतात. म्हणून ही आकृती गिरवता येणार नाही.
हाच नियम कोनिग्सबर्गच्या पुलांच्या आकृतीला लावून पहा म्हणजे ऑयलरने गावकरयांना काय उत्तर दिलं असेल याची कल्पना येईल !
दोऱ्यांच्या गाठी आणि गुंतागुंती
वर नमूद केलेला भाग संस्थिती (टॉपॉलॉजी) ह्या, गणिताच्या शाखेत बसतो. आता संस्थितीतलं एक वेगळं उदाहरण बघा.
दो-यांच्या काही गाठी सुटतात तर काही सुटत नाहीत. काही गुंतागुंती सोडवायला लागलो की त्यांचं दुसऱ्या गुंतागुंतीत रूपांतर होतं. तर कधीकधी दोरीला गाठ नसून नुसता पीळ गेलेला असतो. ह्या सर्व प्रकारांचा सांगोपांग अभ्यास संस्थितीत केला जातो. सोपे वाटणारे काही प्रश्न गहन असता हे इथेसुद्धा दिसून आलं आहे.
उदाहरणार्थ, चित्र क्रमांक ३ मध्ये दाखवलेल्या दोन गाठींचे एकमेकात रूपांतर होऊ शकेल का? पाहा प्रयल करून !
उत्तर : दोन्ही गाठी एकमेकींची आरशातली प्रतिबिंबे आहेत. जरी दिसायला त्यांची रचना सारखी दिसली तरी प्रत्यक्षात हे रूपांतर शक्य नाही हे गणिताद्वारे सांगता येतं.
सोडवा हे कोडे
मुले पळविणा-या एका दरोडेखोराने एका दहा वर्षांच्या मुलाला पळवून आणून चित्र क्रमांक ४ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे दोन खांबांना अडकवून ठेवलं. दोरी मजबूत, न तुटणारी होती व मुलाचे हातही त्याभोवतीच्या कड्यातून बाहेर निघू शकत नव्हते. दरोडेखोर निर्धास्तपणे बाहेर गेला. तो परत आला तेव्हा मुलगा पळून गेलेला होता.
हे कसं शक्य झालं?