७ + ८ = किती ?
३. ७ + ८ = किती?
संपादनएक राजा होता. त्याला दोन मुले होती. त्यांना शिकवायला त्याने एका विद्वान पंडिताची नेमणूक केली. काही दिवसांनी त्यांची परीक्षा पाहण्यासाठी राजाने त्यांना बोलावलं. पंडिताने सांगितलं “महाराज, दोन्ही राजपुत्र हुषार आहेत - पण मोठा माझ्या मते अतिशय हुषार आहे.”
"ठीक आहे, मीच त्यांची परीक्षा घेतो.” राजा म्हणाला. त्याने दोघा राजपुत्रांना एक गणित घातलं.
"आठ अधिक सात म्हणजे किती?”
धाकट्याने लगेच उत्तर दिलं, “पंधरा." राजा खूष झाला. त्याने मोठ्याकडे पाहिलं. तो अजून गप्पच होता! अखेर राजाने त्याला उत्तर देण्यास सांगितलं. मोठा राजपुत्र उत्तरला -
“मी नक्की उत्तर देऊ शकत नाही. पण तुमचा प्रश्न अजून पुरा झाला नाही."
"म्हणजे? त्यात आणखी काय यायला पाहिजे?”
"ही बेरीज कोणत्या नियमाखाली करायची?” राजपुत्राचा प्रतिप्रश्न ऐकून राजा गोंधळून गेला. त्याने पंडिताकडे पृच्छा केली. पंडित म्हणाला, हा म्हणतो ते बरोबर आहे ! आठ अधिक सात म्हणजे, नेहमीच पंधरा होत नाहीत. ते नियमावर अवलंबून आहे. नियम बदलले की वेगळं उत्तर येऊ शकेल."
राजा चिडला. 'हा कसला वेडेपणा! नियम वाटेल तसे बदलून कसं चालेल? आठ अधिक सात म्हणजे नेहमीच पंधरा होतात.'
‘बाबा चिडू नका.' राजपुत्र शांतपणे म्हणाला, 'नियम वाटेल तसे बदलून चालणार नाही हे खरं; पण तुम्ही म्हणता तेच उत्तर नेहमी बरोबर असंही म्हणता येत नाही.'
‘कोड्यात बोलू नकोस. प्रत्यक्ष उदाहरण दे,' राजाने आज्ञा केली.
"ठीक आहे ! समजा, तुम्ही सकाळी आठ वाजता दरबारचं काम पाहायला सुरवात केलीत आणि सात तास काम केलंत. त्यावेळी घड्याळात किती वाजले असतील?”
'तीन' राजाने दरबारातल्या मोठ्या घड्याळाकडे पाहात म्हटलं.
‘जोपर्यंत आपण बारा तासांचे घड्याळ वापरतो तोपर्यंत आठ अधिक सात म्हणजे तीन होत नाहीत का?”
राजाच्या डोक्यात प्रकाश पडला.
अमूर्त गणित शिकणा-याला गणित मांडण्यापूर्वी सर्व आवश्यक आकड्यांची आणि चिन्हांची पूर्ण व्याख्या करावी लागते. बेरीज म्हणजे काय? गुणाकार म्हणजे काय वगैरे प्रश्न त्याला सुरवातीलाच नीट मांडून सोडवावे लागतात. वरील गोष्टीत घड्याळातल्या १ ते १२ अंकापर्यंतच मर्यादित असलेलं वेगळं अंकगणित असू शकतं हे इथे स्पष्ट केलं आहे. १२ च्या पुढला आकडा परत १ असतो. त्यामुळे ह्या अंकगणितात
१ + १ = २ २ + २ = ४
४ + ५ = ९ ७ + ८ = ३
९ + १० = ७, ............
इत्यादि बेरजेचे प्रकार आढळतात. ते चूक आहेत किंवा व्यवहाराला सोडून आहेत असं म्हणता येत नाही. फक्त ते आपल्याला सवयीने माहीत झालेल्यापेक्षा वेगळ्या संदर्भात आहेत इतकंच !
दोन आकड्यांचे गणित
आता आपण त्याहून कमी आकड्यांचं गणित पाहू. ते म्हणजे
फक्त दोन आकड्यांचं गणित आणि हे आकडे म्हणजे :
०, १.
इथे लागू पडणारे बेरजेचे नियम म्हणजे :
० + ० = ० ० + १ = १
१ + १ = ०
हे नियम बनवताना तर्कशास्त्राची कास धरावी लागते. कशी ते आपण पाहू. समजा, आपण सुरवात केली पहिल्या नियमापासून.
० + ० = ०
त्यानंतर ० + १ म्हणजे किती?
पर्याय दोनच आहेत :
० + १ = ०, ० + १ = १
पैकी पहिला पर्याय घेतल्यास पहिल्या नियमाशी तुलना केल्यास ० आणि १ मध्ये काहीच फरक नाही असं दिसून येतं. म्हणून दुसरा पर्याय घ्यावा लागतो. त्याचप्रमाणे १ + १ करता जे दोन पर्याय आहेत; त्यातला १ + १ = ० हाच बरोबर हे थोडा विचार केल्यास (आणि पहिल्या दोन नियमांशी तुलना केल्यास) दिसून येईल.
हे लहानसं गणित व्यवहारात कुठे लागू पडतं?
लेखांक २ मधील कोड्याचे उत्तर
